約束最佳化問題

約束最佳化問題（亦譯為受約束的最最佳化問題）是一類數學最最佳化問題，它由目標函式以及與目標函式中的變數相關的約束條件兩部分組成，最佳化過程則為在約束條件下最最佳化（最大化或最小化）目標函式。

基本介紹

• 中文名：約束最佳化問題
• 主要起源：實際問題是包含約束條件的
• 具體形式：min f(x)
• 滿足約束條件：g(x)<=0h(x)＝0

方程一般形式

一個約束最小化問題可以寫成如下形式:

其中 是目標函式； 與 是求解這個目標函式需要滿足約束條件（i和j標識第幾個約束條）。在這個例子中，所有約束條件都是必須滿足的，為硬約束。在有些問題中，目標函式是一些成本函式或者效用函式的加總，個體成本函式或者效用函式的約束條件只需要儘量滿足，而不是必須滿足，這種情況下的約束條件為軟約束。

約束 (數學)

在數學中，約束是一個最佳化問題的解需要符合的條件。約束可分為等式約束及不等式約束。符合所有約束的解的集合稱為可行集（feasible set）或是候選解（candidate solution）。

效用

效用（英語：Utility），是個體經濟學中最常用的概念之一。一般而言，效用是指對於消費者通過消費或者享受閒暇等使自己的需求、欲望等得到的滿足的一個度量。

歷史

效用的概念是丹尼爾·伯努利在解釋聖彼得堡悖論（丹尼爾的表兄尼古拉一世·伯努利設計出來的一個悖論）時提出的，目的是挑戰以金額期望值(expected monetary value, EMV)作為決策的標準。

丹尼爾·伯努利對這個悖論的解答在1738年的論文裡，主要包括兩條原理：

1. 邊際效用遞減原理：一個人對於財富的占有多多益善，即效用函式一階導數大於零；隨著財富的增加，滿足程度的增加速度不斷下降，效用函式二階導數小於零。
2. 最大效用原理：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。

效用的基數性和序數性

經濟學家對於效用的理解是有一個過程的。19世紀的傑文斯、瓦爾拉斯和馬歇爾等早期經濟學家認為效用如同人們的身高和體重一樣是可以測量的，而希克斯（John Hicks，1946）則嘗試了只在序數性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。希克斯認為，效用的數值表現只是為了表達偏好的順序，並非效用的絕對數值。從教科書等內容判斷，現在比較通用的應該是後者的序數性效用。

相關條目

• 卡羅需－庫恩－塔克條件
• 拉格朗日乘數
• 水平集
• 線性規劃
• 非線性規劃