可行域

在最佳化設計中,一個不等式約束條件g(x)≤0可以將設計空間劃分為兩個部分：一部分滿足約束條件g(x)<0，另一部分不滿足約束條件g(x)>0，這兩部分的分界面稱為約束面，即g(x)=0。若某項設計有m個不等式約束條件，則由m個約束面在設計空間中形成兩個區域，凡滿足不等式約束方程組的設計變數選擇區域，稱為設計可行域，或稱約束區域；凡不滿足不等式約束方程組中任一個約束條件的設計變數選擇區域，則稱為設計非可行域或約束違反區域。可行域內的設計點所對應的解均為可行解。在最佳化設計問題中，由於存在各種設計約束，其最優設計方案通常都是可行域上的邊界點。

基本介紹

• 中文名：可行域
• 外文名：feasible region
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：線性規劃、可行解、約束條件等
• 別稱：約束區域

基本介紹

所謂約束集合，就是指所有不等式約束和等式約束的交集。在此集合內所有設計點x都滿足全部的約束條件，故又稱它為設計可行域，表示為：

其中假設函式 和h(x)都是連續的。這樣，對於一個約束的最佳化設計問題，由於約束面的存在而把設計空間劃分為兩個區域：設計可行域D和非可行域。因而，最優解或可接受設計解只能從可行域內的各點中產生。

顯然，若在可行域內不存在設計點，則認為此可行集合是個空集，此時也就得不到一個設計解，問題就可能出於所建立的約束條件與設計要求是相矛盾的。

關於約束可行域D是否為一個凸集，在凸規劃理論中證明了：若各個不等約束函式 是凸函式和等式約束 是線性函式，則D是凸集。但是只要等式約束是非線性的，那么集合D一定是個非凸集。

可行域的其他性質

【例1】對於一個二維問題，當其約束條件為：

由圖1 (a)可見，它是一個在第一象限內的凸集；當約束條件改為：

時，由圖1 (b)可見，是一個在第一象限內的非凸集D，因為函式是一凹函式；當約束條件取為等式約束

時，由圖1 (c)可見，也是一個非凸集，此時這個集合是在x₁≥0和x₂≥0（第一象限內）上的一段曲線。

圖1（a）凸集

圖1 （b）非凸集

圖1（c）非凸集

值得注意的是，一個約束函式經過變換，雖然表示形式不同但未改變其約束條件的性質，但有時卻會影響約束函式的凸性，例如，對於x₁>0和x₂>0，且a和b為正常數，其原約束條件形式為：

可以等價地變換為下面形式（由於x₁和x₂均取正值，故不等式的意義沒有改變）：

結果是是凸函式，變換為則是非凸函式，因為它們的Hessian矩陣分別為：

和

式中，為正定矩陣；為不定矩陣。

由此，約束函式通過形式上的變換，結果可能丟失了函式的凸性（或者相反），這也就影響可行域的約束集合的凸性條件。

根據上述可以推知，在n維歐氏空間Rⁿ中，由一組不等式約束函式可以組成一個或幾個可行域D。對於僅由一組等式約束所組成的可行域D，如果這組方程的函式是連續且彼此獨立的，那么這個可行域D就是一個n-p維的子集。

對於由一組非線性約束函式所定義的可行域，確定它是凸集還是非凸集，一般說來是比較困難的，而且對於一個非凸的集合，往往是造成一個最佳化設計問題有多個約束極值的重要原因。