正則測度

正則測度(regular measure)一種比較規則的測度。既外正則又內正則的測度稱為正則測度。

測度,是數學術語,釋義是構造一個集函式,它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數m(E)。我們將此集函式稱為E的測度。 測度有計數測度勒貝格測度哈爾測度、機率測度等。

基本介紹

  • 中文名:正則測度
  • 外文名:regular measure
  • 所屬學科測度論
  • 性質:測度
  • 定義:既外正則又內正則的測度
概念,豪斯多夫空間,博雷爾集類,測度,勒貝格測度,

概念

正則測度(regular measure)是一種比較規則的測度。
設Ω是拓撲空間,B(Ω)是Ω上的博雷爾σ代數,μ是Ω上的博雷爾測度
如果對B(Ω)中每個博雷爾集E,
有:
則稱μ為外正則測度
如果對Ω中每個開集U,
有:
則稱μ為內正則測度
既外正則又內正則的測度稱為正則測度

豪斯多夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中,豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中,“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理
假設 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”,如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做 T2 空間和分離空間的原因。
X 是預正則空間,如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1 空間。
在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間,若且唯若它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間,若且唯若它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。
在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間;最重要的實數是豪斯多夫空間。更一般的說,所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實上,在分析中用到的很多空間,比如拓撲群和拓撲流形在其定義中明確的聲明了豪斯多夫條件。
最簡單的是 T1 空間而非 T2 空間的拓撲的例子是余有限空間。
偽度量空間典型的不是豪斯多夫空間,但是它們是預正則的,並且它們在分析中通常只用於構造豪斯多夫gauge空間。實際上,在分析家處理非豪斯多夫空間的時候,它至少要是預正則的,他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。
相反的,在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間,特別是作為在代數簇或交換環譜上的Zariski拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中: 所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數,但是這個空間不需要是預正則的,更少見豪斯多夫空間。

博雷爾集類

博雷爾集類是深入討論函式的連續性、可微性、可積性時必不可少的重要集類。由R中半開區間組成的半環所生成的σ代數,稱為R上的博雷爾集類。也可定義為R中的閉集(開集)全體生成的σ代數。它是由博雷爾於1898年引入的,故以此而命名。這種集類在測度論、機率論、遍歷理論等數學分支中均有廣泛套用。在一般拓撲空間中可類似地引入博雷爾集。

測度

測度,是數學術語,釋義是構造一個集函式,它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數m(E)。我們將此集函式稱為E的測度。測度有計數測度、勒貝格測度、哈爾測度、機率測度等。構造一個集函式,它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數m(E)。我們將此集函式稱為E的測度。
定義1:構造一個集函式,它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
定義2:設Γ是集合X上一σ代數,ρ :Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式,且ρ滿足:
(1)(非負性)對任意的A∈Γ,有ρ(A)≧0;
(2)(規範性)ρ(Φ) = 0;
(3)(完全可加性) 對任意的一列兩兩不交集合A1,A2,……,An,……有ρ(∪n An)=∑n ρ(An)
則稱ρ是定義在X上的一個測度,Γ中的集合是可測集,不在Γ中的集合是不可測集。特別的,若ρ(X) = 1 ,則稱ρ為機率測度。

勒貝格測度

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛套用於實分析,特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測;勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的,但是即使如此,在假設選擇公理成立時,R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題,它是選擇公理的一個結果。
R上的勒貝格測度有如下的性質:
如果A表示的是區間I1 ×I2 × ... ×In笛卡爾積,那么A是勒貝格可測的,並且 其中 |I| 表示區間I的長度。 如果A有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並,那么A也是勒貝格可測的,並且λ(A) 就是這些可測集的測度的和(或無窮級數的和)。 如果A勒貝格可測的,那么它的補集(相對於R)也是可測的。 對於每個勒貝格可測集A,λ(A) ≥ 0 。 如果AB勒貝格可測的,且AB子集,那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2,3 可得)。 如果A是一個開集閉集,且是R(甚至Borel集,見度量空間,待補)的子集,那么A是勒貝格可測的。 如果A是一個勒貝格可測集,並有 λ(A) = 0 ,則A的任何一個子集B的勒貝格測度λ(B)=0。 如果A勒貝格可測的,xR中的一個元素,A關於x的平移(定義為A+x= {a+x:aA})也是勒貝格可測的,並且測度等於A. 如果A是勒貝格可測的,δ > 0,則A關於δ的擴張(定義為)也是勒貝格可測的,其測度為。 更廣泛地說,設T是一個線性變換A是一個R的勒貝格可測子集,則T(A)也是勒貝格可測的,其測度為。 如果AR勒貝格可測子集,f是一個AR上的連續單射函式,則f(A)也是勒貝格可測的。
簡要地說,R的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積σ代數,且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足的測度
勒貝格測度是σ有限測度。

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