基本介紹
- 中文名：正則擴張
- 外文名：regular extension
- 領域：代數
- 性質：可分擴張
- 實例：F上的純超越擴張
- 相關術語：代數閉包
代數擴張,可分擴張,代數閉包,純超越擴張,正則擴張,性質,
代數擴張
設為任意的域擴張，可以看作是上的向量空間。
定義為其維度，稱作這個擴張的次數。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張，則里的任一元素都落在一個有限子擴張內，因此一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。
可分擴張
一種重要的域擴張。其特徵為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數閉包，若K與：
在F上是線性分離的，則稱K/F是可分擴張。當F是完備域時，F上任何擴張都是可分擴張。當K/F是代數擴張時，若α∈K在F上的最小多項式是可分多項式，則稱α是(F上的)可分代數元(簡稱F上可分元)。若K中每個元均為F上可分元，則稱K是F上可分擴張。若K/F有一個超越基S，使得K是可分的，則稱S是可分超越基。若K/F有這樣一個可分超越基，則稱此擴張K/F是可分生成的。完備域上的有限生成擴張均為可分生成擴張。可分擴張具有傳遞性。當K/F是有限生成，而且是可分擴張時，K/F是可分生成的。反之，可分生成的擴張必然是可分擴張。
代數閉包
代數閉包是實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合，A的代數閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對於任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A。A的代數閉包常記為acl(A)。如果A=acl(A)，那么A稱為代數閉集。它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的余集必定是代數開集；反之亦然。代數閉包的概念在敘述凸集分離定理時也起重要作用。
有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.這時代數閉集就不再是代數開集的余集。但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的。
純超越擴張
純超越擴張是一類重要的超越擴張。設擴域K在F上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴張為純超越擴張，K為F的純超越擴域。此時，K與F上一組未定元X的多項式環F[X]的分式域(商域)F(X)同構，其中X與S的基數相等。一般地，設K是F的任一擴域，若其超越基為S，則F(S)是F的純超越擴域，K為F(S)的代數擴域。這樣，一個域擴張可分成兩種特殊的域擴張來研究，即FF(S)K。超越次數為1的純超越擴張稱為單超越擴張。
正則擴張
性質
正則擴張的主要性質有：
性質一：正則擴張是可傳遞的：如果F/E和E/K都是正則擴張，那么F/K也是正則擴張；
性質二：如果F/K是正則擴張，那么對任意在F和K之間的E有E/K也是正則擴張；
性質三：L/K是正則擴張若且唯若L有限生成的每個子域在K上是正則的；
性質四：代數閉合域的任何擴展都是正則的；
性質五：一個擴展是正則的若且唯若它是可分離的；
性質六：一個域的純粹超驗的擴展是正則的。
