格序群

格序群(lattice-ordered group)亦稱格群或l群,是一種具有格序關係的群。若偏序群G作為偏序集是格,則稱G為格序群。格群是分配格

數學中,“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中,所考慮的元素之間具有某種順序。表示一個擁有滿足封閉性結合律、有單位元、有逆元二元運算代數結構,包括阿貝爾群、同態和共軛類。

基本介紹

  • 中文名:格序群
  • 外文名:lattice-ordered group
  • 領域:數學
  • 別名:格群或I群
  • 性質:分配格
  • 定義:一種具有格序關係的群
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格的概念

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中,所考慮的元素之間具有某種順序。
例如,一組實數間的大小順序;一個集合的諸子集(或某些子集)間按(被包含)所成的順序 ;一組命題間按蘊涵所成的順序;等等。這種順序一般不是全序,即不是任意二元素間都能排列順序,而是在部分元素間的一種順序即偏序(半序)。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如,在代數學中,對於一個群G與其子群格(G)之間關 系的研究。在數理邏輯中,關於不可解度的研究。
格的定義:設(L,≤)是偏序集,若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界,則稱(L,≤)是格(lattice),為了方便,這樣的格成為偏序格。
格h格 設(L,£)是一個偏序集,如果對於"a,bÎL,L的子集{a,b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a,b})和一個最小上界(記為sup{a,b}),則稱(L,£)是一個偏序格.
子集在L中有上確界和下確界的偏序集,就是格。
h代數格 在L定義二元運算*和·,滿足:對"a,b,cÎL,有
(1) 交換律 a*b=b*a,a·b=b·a
(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)
(3) 吸收律 a*(a·b)=a, a·(a*b)=a
則稱(L,*,·)是代數格.
用代數的語言,格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。

群的概念

在數學中,表示一個擁有滿足封閉性結合律、有單位元、有逆元二元運算代數結構,包括阿貝爾群、同態和共軛類。
集合
,在
上的二元運算(該運算稱為群的乘法,其結果稱為
構成的代數結構
,,滿足:
1. 封閉性:即G的任意兩個元素在
下的運算結果都是該集合的一個元素。(
)。
2.結合律
3.單位元
中存在元素
,使G中任一元素
與之相乘(包括左乘和右乘)的結果都等於
本身。(
,使
,有
);
4. 逆元:
,使得
稱為
的逆元,記為
。(逆元具有唯一性,即:由
可以推出
稱為一個,或乘法群
有時由於上下文的原因,群上的二元運算亦可稱為加法,此時該運算通常記為
,群元素的運算也被記為如同
的形式,而群也可被稱為加法群。此種情況下,往往加法還有可交換的性質。

格序群的概念

格序群亦稱格群或l群。一種具有格序關係的群。若偏序群G作為偏序集是格,則稱G為格序群。格群是分配格。設G既是又是,則G是格序群若且唯若對任意a,b,x,y∈G,滿足:
a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b),
a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b).
除去平凡的格群外 ,沒有有限格群。

格序群上的C-拓撲

格序群A是一個偏序Abel群使得對於任意元素x, y ∈ A,存在上確界sup(x, y)和下確界inf(x, y)。一個格序群被稱作是Archimedean,如果其中沒有非平凡的有界格子群。例如,令X為任意拓撲空間,C(X)為所有從X到賦予通常拓撲結構的實數拓撲空間 R 的全體連續函式組成的加法群,則C(X)在逐點序之下為一個Archimedean格序群。事實上,格序群的源泉可追溯到當Dedekind在研究Fermat大定理時發展的算術理論。此後,從Hilbert的幾何基礎開始,到他的積分方程理論直至拓撲向量空間中的運算元理論,格序群理論逐漸出現在不同的數學領域。例如,以Riesz空間命名的格序實向量空間理論在泛函分析中也是很重要的。
令A為一個格序群。A的範數N定義為:對於任意x ∈ A,N(x) =sup(x, −x)。設a ∈ A,則a的正部是a+= sup(a, 0), a的負部是a−= sup(−a,0)。易驗證:
且N(a) = 0若且唯若a = 0。格序群A的一個非空正元素子集F被稱作是一個濾子,如果a, b ∈ F 蘊涵inf (a, b) ∈ F ,且c ∈ F 只要c≥a∈ F。
設A為一個2-可除的格序群,A的一個由某些嚴格正元組成的濾子C叫作A的一個容許子集,如果x ∈ C 蘊涵x/2 ∈ C對於一個容許子集C ⊆ A,我們說A是C -Archimedean。如果對C中所有的元素x, y,存在自然數n使得ny > x。格序群A叫作是一個C-群。如果A是2-可除的且是C-Archimedean.若A是一個2-可除並帶有一個容許子集C的格序群.以r ∈ C 為半徑,以x0∈ A 為中心的開C-球是集合:
格序群A中的序列 {xn}n∈N稱作是依範數收斂於x,如果對於A的所有嚴格正元,存在m ∈ N,使得對於任n m 有N (xn− x) < e成立。 A中的遞降序列 {xn}n∈N稱作是收斂於x,如果x = infn{xn} 存在,並表示為lim(xn) = x。A中的序列 {xn}n∈N稱作是依序收斂於x如果存在某個遞降於0 (即lim(pn) = 0)的序列pn,使得對所有的n有N xn− x) pn。A中的序列 {xn}n∈NC -收斂於x如果 ∀e∈ C, ∃m ∈ N,使得 ∀n m 成立N (xn− x) <e ,並記 limC(xn) = x。

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