在數學中，多重線性代數推廣了線性代數的方法。和線性代數一樣也是建立在向量的概念上，發展了向量空間的理論。在套用上，出現了許多類型的張量。該理論全面囊括了一系列空間以及它們之間的關係。
基本介紹
簡介,歷史背景,方法總結,套用觀點,
簡介
多重線性代數以建立在若千個向量空間的笛卡兒積上的各種多重線性的代數結構為研究對象，如多重線性映射、具有某些對稱性質的多重線性映射、張量代數、張量對稱類、格拉斯曼代數、外代數、克利福德代數等。
多重線性代數這部分詞條中的向量空間的基域的特徵一般都假定為O，但當關係到內積或群的任意特徵標時，為了敘述簡明，也只在複數域上討論。值得提出的是，域上多重線性代數的主要概念及結果都可以用模論的工具推廣到交換環上。
歷史背景
這個學科本身有許多不同的起源可以追溯到十九世紀的數學，但是稱之為張量分析，或張量計算或張量場。張量在微分幾何、廣義相對論以及許多套用數學分支中的套用發展起來。大約在20世紀中葉，張量的研究轉向抽象。布爾巴基學派的專著《多重線性代數》特別流行；事實上，也許“多重線性代數”便是由此發明的。
原因之一是當時在同調代數這個新領域的套用。20世紀40年代代數拓撲的發展給純代數方式處理張量積注入了新的活力。兩個空間的積同調群的計算涉及到張量積；但是只在最簡單的情形，比如環面是直接算出來的（參見萬有係數定理）。細微的拓撲現象要求一種更好的概念；從技術上說，需要定義Tor函子。該材料組織得很廣泛，包括追溯到赫爾曼·格拉斯曼的想法，從微分形式理論導致了德拉姆上同調中的想法，以及一些更初等的想法比如楔積（推廣了叉積）。
布爾巴基將結論以相當苛刻的方式，完全拒絕向量分析中一種處理方式（四元數方法，即，在一般情形，和李群的關係）。他們轉而套用一種利用範疇論的新方式，從李群處理方式的觀點來看是一種獨立的方法。由於這導致了一種更清晰的處理方式，它們可能在純數學術語中沒有對應物。（嚴格地說，涉及到泛性質方式；這似乎比範疇論更一般，而這兩個交替方式的關係也在同一時間被理清了。）
多重線性代數相關書籍
多重線性代數相關書籍事實上他們所做的是準確的解釋了“張量空間”是將多重線性問題簡化為線性問題的建構。這種純代數挑戰沒有提供幾何直觀。
將問題重新表述成多重線性代數術語是有好處的，這裡有清楚的和良定義的“最好解”：解的限制恰好是你事實上所需要的。一般沒有必要引入任何特殊的構造，幾何概念或依賴於坐標系。在範疇理論術語中，一切都是完全自然的。
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