極大線性無關組

極大線性無關組（maximal linearly independent system）是線性空間的基對向量集的推廣。其定義為：設S是一個n維向量組，α1,α2,...αr 是S的一個部分組，如果滿足(1) α1,α2,...αr 線性無關；(2) 向量組S中每一個向量均可由此部分組線性表示，那么α1,α2,...αr 稱為向量組S的一個極大線性無關組，或極大無關組。

基本介紹

• 中文名：極大線性無關組
• 外文名：maximal linearly independent system
• 簡稱：極大無關組
• 性質：極大線性無關組與向量組本身等價
• 一級學科：數學
• 二級學科：線性與多重線性代數

簡介

極大線性無關組（maximal linearly independent system）是線性空間的基對向量集的推廣。設V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關，但在這部分向量中，加上S的任一向量後都線性相關，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關組。V中子集的極大線性無關組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關組。它們所含的向量個數（基數）相同。V的子集S的極大線性無關組所含向量的個數（基數），稱為S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都與它的極大線性無關組等價。特別地，當S等於V且V是有限維線性空間時，S的秩就是V的維數。

基本性質

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組；

（2）一個線性無關向量組的極大無關組就是其本身；

（3）極大線性無關組對於每個向量組來說並不唯一，但是每個向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量；

（4）齊次方程組的解向量的極大無關組為基礎解系。

（5）任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。

（6）一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關向量組的向量個數小於或等於後者。

相關定理

定理 1

設a₁,a₂,…,a_r與b₁,b₂,…,b_s是兩個向量組，如果

（1）向量組a₁,a₂,…,a_r可以經b₁,b₂,…,b_s線性表出；

（2）r>s；

那么向量組a₁,a₂,…,a_r必線性相關。

推論 1

如果向量組a₁,a₂,…,a_r可以經b₁,b₂,…,b_s線性表出，且a₁,a₂,…,a_r線性無關，那么r≤s。

推論 2

任意n+1個n維向量必線性相關。

推論 3

兩個線性無關的等價向量組，必含有相同個數的向量。

定理 2

一向量組的極大線性無關組都含有向量的個數相同。

定理 3

一向量組線性無關的充分必要條件是，它的秩與它所含向量的個數相同。

推論 4

等價的向量組必有相同的秩。