等價向量組

等價向量組

向量組等價的基本判定是:兩個向量組可以互相線性表示。

需要重點強調的是:等價的向量組的秩相等,但是秩相等的向量組不一定等價。

向量組A:a1,a2,…am與向量組B:b1,b2,…bn的等價秩相等條件是

R(A)=R(B)=R(AB),

其中AB是向量組A和B所構成的矩陣

基本介紹

  • 中文名:等價向量組
  • 外文名:Equivalent vectors
基本定義,數學實例,

基本定義

向量組A:a1,a2,…am與向量組B:b1,b2,…bn的等價秩相等條件是
R(A)=R(B)=R(AB),
其中AB是向量組A和B所構成的矩陣。
(注意區分粗體字與普通字母所表示的不同意義)
或者說:兩個向量組可以互相線性表示,則稱這兩個向量組等價
註:
1、等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數可以不一樣,線性相關性也可以不一樣。
2、任一向量組和它的極大無關組等價。
3、向量組的任意兩個極大無關組等價。
4、兩個等價的線性無關的向量組所含向量的個數相同。
5、等價的向量組具有相同的秩,但秩相同的向量組不一定等價。
6、如果向量組A可由向量組B線性表示,且R(A)=R(B),則A與B等價。

數學實例

設有兩個向量組
(Ⅰ):α1,α2,……,αm;
(Ⅱ):β1,β2,……,βm;
如果(Ⅰ)中每個向量都可以由向量組(Ⅱ)線性表示,則稱(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示;如果(Ⅰ)與(Ⅱ)可以相互線性表示,則稱(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,記為(Ⅰ)≌(Ⅱ)。
例如:,若β1=α1+α2,β2=α1-2α2,β3=α1,則向量組(Ⅰ)={α1,α2}與向量組(Ⅱ)={β1,β2,β3}等價。事實上,給定的條件已表明(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表示,又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3,α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3,這表明(Ⅰ)也可以由(Ⅱ)線性表示,由定義即知(Ⅰ)與(Ⅱ)等價。

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