線性表出

線性組合是線性代數的基本概念之一，設α₁，α₂，…，α_e(e≥1)是域P上線性空間V中的有限個向量，若V中向量α可以表示為α=k₁α₁+k₂α₂+…+k_eα_e(k_a∈P，a=1，2，…，e)，則稱α是向量組α₁，α₂，…，α_e的一個線性組合，亦稱α可由向量組α₁，α₂，…，α_e線性表示或線性表出。

基本介紹

• 中文名：線性表出
• 外文名：linear expression
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：線性組合、線性表示等

定義

若干個同維數的行向量(或同維數的列向量)所組成的集合叫做向量組。

對n維向量 和 ，如果存在實數 ，使得

稱向量 是向量 的線性組合，或者說向量 可由 線性表出(示)。

設有兩個n維向量組 ；如果 中每個向量 都可由 中的向量 線性表出，則稱向量組 可由向量組 線性表出。

如果 、 這兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。

註：(1)等價向量組具有傳逆性、對稱性、反身性；

(2)向量組和它的極大線性無關組是等價向量組；

(3)向量組的任意兩個極大線性無關組是等價向量組；

(4)等價的向量組有相同的秩。但秩相等的向量組不一定等價。

例題解析

例1 已知 ,試問當a，b取何值時 可以由 線性表示，並寫出其表達式。

解： 設 ，按分量寫出，即有

對增廣矩陣 作初等行變換，有

如果b≠4，方程組無解， 不能由 線性表出。

如果b=4，秩 方程組有解， 可由 線性表出。

（1）當 時，

方程組有唯一解： ,即。

（2）當 時，

方程組有無窮多解： ,即，t為任意實數。

例2 設有向量組(1)： ；

(2)： 。

試問：當a為何值時，向量組(1)與(2)等價？當a為何值時，向量組(1)與(2)不等價？

分析: 所謂向量組(1)與(2)等價，即向量組(1)與(2)可以互相線性表出，如果方程組

有解，則 可以由 線性表出。

那么，如果對同一個a，三個方程組

均有解，則說明向量組(2)可以由向量組(1)線性表出

解： 對 作初等行變換，有

那么，由方程組 知，只要方程組總有唯一解，即時，必可由線性表出，而時，方程組無解，不能由線性表出。

由方程組知，方程組總有解，即必可由線性表出。

由方程組知，只要，方程組就有解，就可由線性表出，

因此，當時，向量組(2)可由向量組(1)線性表出。

反之，由於行列式

故，三個方程組恆有解，即，向量組(1)總可由向量組(2)線性表出，因此，時向量組(1)與(2)等價。

而時，不能由線性表出，向量組(1)與(2)不等價。

評註： 若未知向量的坐標而要判斷能否線性表出的問題，通常是轉換為非齊次線性方程組是否有解的討論，如果向量的坐標沒有給出而問能否線性表出，通常用線性相關及秩的理論分析、推理。