線性表示

線性表示是一種重要的表達形式，指線性空間中的一個元素可通過另一組元素的線性運算來表示。零向量可由任一組向量線性表示。

基本介紹

• 中文名：線性表示
• 外文名：linear representation 
• 性質：線性
• 舉例：零向量可由任一組向量線性表示。
• 領域：線性代數
• 學科：數學

定義

定義1 設x₁，x₂，…，x_n是線性空間E的有限個向量，x∈E，如果存在數c₁，c₂，…，c_n使得

則稱x可由x₁，x₂，…，x_n線性表示，或x是x₁，x₂，…，x_n的線性組合。

舉例

例1 任意一個n維向量都是向量組

的一個線性組合。因為

例2 由定義1可以立即看出，零向量是任一向量組的線性組合（只要取係數全為0就可以了）。

相關概念

等價向量組

定義2 如果向量組中每一個向量都可以由向量組線性表示，那么向量組就稱為可由向量組線性表示。如何兩個向量組互相可以線性表示，它們就稱為等價。

例如，設則向量組與向量組是等價的。

註：向量組之間的等價滿足反身性、對稱性和傳遞性。

線性相關

定義3 如果向量組中有一個向量可以由其餘的向量線性表示，那么向量組稱為線性相關的。

例如，向量組是線性相關的，因為

註：由定義3可知，任意一個包含零向量的向量組一定是線性相關的。

重要性質

1. 向量組B=(β₁，β₂，……，β_m)能由向量組A=(α₁，α₂，……，α_m)線性表示的充要條件是矩陣A=(α₁，α₂，……，α_m)的秩等於矩陣(α₁，α₂，……，α_m，B)的秩。
   

2.向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大於向量A的秩。反之不一定成立。

3.① 一個向量可由向量組中其餘向量線性表示，前提是這個向量組線性相關。

②線性相關的向量組中並不是任一向量都可由其餘向量線性表示；但當其餘向量線性無關時，這個向量必可由其餘向量線性表示。

4.零向量可由任一組向量線性表示。

5.向量組α₁，α₂，……，α_m中每個向量都可由向量組本身線性表示。

6.任一n維向量α=（α₁，α₂，……，α_m）都可由n維單位向量組線性表示。

7.設α₁，α₂，……，α_m線性無關，而α₁，α₂，……，α_m，ß線性相關，則β可由α₁，α₂，……，α_m線性表示，且表示是唯一的。