勒貝格可測集

勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一，指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。

基本介紹

• 中文名：勒貝格可測集
• 外文名：Lebesgue measurable set
• 適用範圍：數理科學

簡介

勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一，指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。

若m*為Rⁿ上的(L)外測度，E⊂Rⁿ且滿足卡拉西奧多條件，即對任意點集T⊂Rⁿ，有

則稱集E為勒貝格可測集，簡稱(L)可測集。

點集的可測集

勒貝格可測集並不是勒貝格本人給出的。

勒貝格首先考慮直線上的點集，定義開區間(a,b)的測度為(a,b)的長度b-a:m((a,b))=b-a；再定義有界開集G的測度為G的構成區間的長度之和，即若，(a_k,b_k)為G的構成區間，則。

對有界閉集F⊂(a,b)，令G=(a,b)\F，定義F的測度為m(F)=(b-a)-m(G)，m(F)與區間(a,b)的選擇無關；

對一般的有界點集E，把所有包含E的有界開集的測度的下確界稱為E的外測度，記為m*(E)，即m*(E)=inf{m(G)|G為開集且G⊃E}；把所有包含E的有界開集的測度的上確界稱為E的（勒貝格）內測度，記為m_*(E)或|E|_i，即m_*(E)=sup{m(F)|F為閉集且F⊃E}；顯然，m_*(E)≤m*(E)；若m_*(E)=m*(E)，則稱E為可測集，它的外測度與內測度所具有的共同值稱為E的測度，記為m(E)=m，(E)=m*(E)。

若E為無界集，且它與任何有界開區間的交是可測集，則稱E是可測集，其測度定義為

其中{I_k}為遞增開區間列，且，而且m(E)可能為+∞。

以上關於R中點集的可測集與測度的概念可以推廣到Rⁿ中的點集上去，而且這種推廣並無實質性的困難。

發展

勒貝格可測集與測度的優點是自然、直觀，然而定義中使用了內測度與外測度，這樣，使用起來很不方便。因此人們希望尋求一個比較簡潔的等價定義。

通過對外測度的深入研究，卡拉西奧多里於1914年給出了前面所述的可測集的定義，這個定義與勒貝格的定義是等價的，而且後來成為建立抽象測度論的有力工具。