完備測度

完備測度(complete measure)亦稱完全測度，是使得零集的任何子集都可測的那種測度。設(Ω，F，μ)是測度空間，如果(Ω，F，μ)中μ零集的子集都是可測集，則稱μ是完備測度，並稱(Ω，F，μ)是完備測度空間。

勒貝格測度空間和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度空間都是完備的測度空間，而波萊爾測度空間是不完備的測度空間。若測度μ完備，則凡是μ幾乎處處相等的函式，或者都可測，或者都不可測。幾乎處處收斂的μ可測函式列的極限函式也是μ可測的。

基本介紹

• 中文名：完備測度
• 外文名：complete measure
• 別名：完全測度
• 概述：μ零集的子集都是可測集
• 舉例：勒貝格測度空間
• 領域：機率論

定義

設μ為σ域 上的測度，

又令

則 中元素稱為μ可略集。若 ，則稱μ在上為完備的。

當為完備機率空間時，則中的元素簡稱為可略集。

由定義可見，完備性的要求與及測度μ都是有關的。

舉例

勒貝格測度空間(Rⁿ，L，m)和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度空間(Rⁿ，L_g，m_g)都是完備的測度空間，而波萊爾測度空間(Rⁿ，B，μ)是不完備的測度空間。

性質

完備測度具有一些良好性質：

1.若測度μ完備，則凡是μ幾乎處處相等的函式，或者都可測，或者都不可測。

2.幾乎處處收斂的μ可測函式列的極限函式也是μ可測的。

對於不完備的測度，這些結論未必成立。

完備化擴張

定理 若為測度空間，為μ可略集全體，則

（1）為σ域，

（2）令，則是上測度，，且當μ為機率測度時亦然；

（3）是完備測度空間，即在上是完備的。

註：定理中的稱為的完備化擴張。由上定理，以後往往可以假定測度空間是完備的，否則只要取其完備化擴張即可。一般地，若為的子σ域，為某些集合構成的σ環，已知μ在上為測度，μ在上恆為0，則μ可擴張為上的測度。