勒貝格測度空間

簡介

測度空間是定義了測度的可測空間。

設(Ω,𝓕)是可測空間，μ是𝓕上的測度，(Ω,𝓕,μ)稱為測度空間。

取R的全體子集作為F，由於F太大，沒有辦法將區間長度這個合適的測度概念定義在F的每個元素上。故縮小F為較小的σ域F'，使得F'包括所有的區間，而且其中的元素都有測度L，而且L是區間長度概念的自然推廣，就得到所謂勒貝格測度空間(R,F',L)，F'中的元素叫勒貝格可測集，而相應的測度L叫勒貝格測度。

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛套用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。

一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

可測空間是測度的定義域，是測度論中的基本概念，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。

設𝓕是基本空間Ω上的σ代數，稱(σ,𝓕)為可測空間，而稱𝓕中的元素A是(σ,𝓕)中的可測集，也稱為Ω中的𝓕可測集，簡稱可測集。

例如，當𝓕是Rⁿ中的波萊爾集類𝓑時，(Rⁿ,𝓑)稱為波萊爾可測空間。

當𝓕是Rⁿ中的勒貝格可測集類𝓛時，(Rⁿ,𝓛)稱為勒貝格可測空間。

辨析：可測空間中的可測集和測度無關，測度空間中的可測集和測度有關。