豪斯多夫測度

豪斯多夫測度(Hausdorff measure)是由豪斯多夫(F.Hausdorff)提出和命名的一種測度。為了定量地描述非整數維，豪斯多夫於1919年從測量的角度引進了豪斯多夫測度。該測度是對長度、面積和體積等的推廣，也是勒貝格測度的推廣。

基本介紹

• 中文名：豪斯多夫測度
• 外文名：Hausdorff measure
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：測度論(幾何測度論)
• 提出者：豪斯多夫

基本介紹

設在n維歐氏空間中對子集定義其直徑為

如果子集族為可數個直徑不超過的集構成的覆蓋F的集類，即

且對每一個都有，則稱是F的一個覆蓋。設F是中的任一子集，S為一非負數，對任意，定義

{為的覆蓋} (1)

考察所有直徑不超過的的覆蓋，並讓這些直徑的S次冪的和達到最小。當時，趨於一極限值，可寫為

稱為的維豪斯多夫測度。通常測度只是賦予集以數值“大小”的一種方式，如果集是以合理的方式分解為有限或可數個部分，則整體的數值應該是所有部分數值之和。可以證明，對於空集∅，有。如果包含於內，則。豪斯多夫測度具有平移不變性與旋轉不變性。長度、面積和體積具有眾所周知的比例性質，即當比例放大λ倍時，曲線的長度放大λ倍，平面區域的面積則放大倍，而三維物體的體積則放大倍。由此可預料，S維豪斯多夫測度的放大倍數為。其數學表達式為：若，則

其他介紹

豪斯多夫測度(Hausdorff measure)是幾何測度論中一類有重要意義的測度。在歐氏空間情形，對任意和給定的，令

這裡使得

且每個的直徑(ε是任意給定正數)，下確界對所有這樣的而取。定義

(是隨ε減小而增大的，故此定義有意義)，則是度量外測度，稱為豪斯多夫外測度。由這個外測度所確定的(惟一的)測度即為豪斯多夫測度，仍用表示。豪斯多夫測度是正則波萊爾測度，當時，就是直線上的勒貝格測度；時，與上的勒貝格測度等價，但不完全相同。豪斯多夫測度的意義在於，對的任一子集A，存在數，使時時，因而刻畫了中集合的“維數”(參見“豪斯多夫維數”)。但一般不是整數，例如對於直線上的康托爾集，。這個測度由豪斯多夫(F.Hausdorff)於1918年引進，在調和分析、位勢論等學科中有套用。豪斯多夫測度還可在一般的度量空間上和更廣的意義(將上述定義中的()換成某個集函式之值)下定義。