內逼近定理

內逼近定理(internal approximation theorem)是描述勞勃可測集與內可測集關係的一個定理。測度論亦稱抽象測度論或抽象積分論，研究一般集合上的測度和積分的理論。是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展。

基本介紹

• 中文名：內逼近定理
• 外文名：internal approximation theorem
• 領域：數學
• 學科：測度論
• 概念：勞勃可測集與內可測集關係
• 空間：測度空間

概念

內逼近定理(internal approximation theorem)是描述勞勃可測集與內可測集關係的一個定理。該定理斷言：設L(Y)=(Y，L(A)，L(ν))是由Y=(Y，A，ν)產生的勞勃測度空間，B⊂Y，則B是勞勃可測的充分必要條件是存在一個集合A∈A，使得L(ν)(A△B)=0，其中A△B是A與B的對稱差。

勒貝格可測集

勒貝格可測集是實變函式論的重要概念之一。指勒貝格意義下可求“長度”、“面積”或“體積”的一類集合。若m*為Rⁿ上的(L)外測度，E⊂Rⁿ且滿足卡拉西奧多里條件，即對任意點集T⊂Rⁿ，有：

則集E稱為勒貝格可測集，簡稱(L)可測集。但這不是勒貝格(Lebesgue，H.L.)本人給出的。勒貝格首先考慮直線上的點集，定義開區間(a，b)的測度為(a，b)的長度b-a：m((a，b))=b-a;再定義有界開集G的測度為G的構成區間的長度之和，即若 ，(a_k，b_k)為G的構成區間，則：

進而對有界閉集F⊂(a，b)，令G=(a，b)\F，定義F的測度為m(F)=(b-a)-m(G)，m(F)與區間(a，b)的選擇無關;對一般的有界點集E，把所有包含E的有界開集的測度的下確界稱為E的外測度，記為m(E)，即m(E)=inf{m(G)|G為開集且G⊃E};把所有含於E中的閉集的測度的上確界稱為E的(勒貝格)內測度，記為m_*(E)或|E|_i，即m^*(E)=sup{m(F)|F為閉集且F⊂E}；顯然，m^*(E)≤m(E)；若m^*(E)=m(E)，則稱E為可測集，它的外測度與內測度所具有的共同值稱為E的測度，記為m(E)=m^*(E)=m(E)；若E為無界集，且它與任何有界開區間的交是可測集，則稱E是可測集，其測度定義為m(E)=m(I_k∩E)，其中{I_k}為遞增開區間列，且R=I_k，而且m(E)可能為+∞。上面關於R中點集的可測集與測度的概念，可以推廣到R中的點集上去，而且這種推廣並無實質性的困難。

勒貝格定義的可測集與測度的優點是自然、直觀，然而定義中使用了內測度與外測度，這樣，使用起來很不方便。因此，人們希望尋求一個比較簡潔的等價定義。通過對外測度的深入研究，卡拉西奧多里(Carathéodory，C.)於1914年給出了前面所述的可測集的定義。這個定義與勒貝格的定義是等價的，而且後來成為建立抽象測度論的有力工具。

測度論

亦稱抽象測度論或抽象積分論，研究一般集合上的測度和積分的理論。是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展。

測度是集合的一種度量，它是長度、面積、體積概念的推廣。首先試圖把長度、面積、體積概念推廣到任意點集而得出一般的“測度”觀念的是杜·布瓦-雷蒙( Du Bois-Reymond，P.D.G.)，他在《一般函式論》(1882年)中提出容量概念，即測度概念的雛形。隨後漢克爾(Hankel，H.)、施托爾茨(Stolz，O.)、哈納克(Harnack，C.G.A.)、康托爾(Cantor，G.(F.P.))等人發展了這種思想，其中康托爾於1884年對直線上的有界集A定義它的測度。

一般集合上的測度和積分理論是最廣泛的測度理論，但為適應各方面的需要，還出現了其他種種特殊的測度和積分.例如，20世紀30年代初，伴隨著人們對取值於巴拿赫空間的函式性質特別是可微性和可積性的研究，出現了有關向量值測度的一些工作。1960年以後，向量值測度理論得到蓬勃發展，並逐漸趨於完善。又如，19世紀建立的傅立葉分析理論，對於套用數學而言，當時已是令人滿意的數學工具，但由於黎曼積分的局限性，對於函式與展開式之間的關係，直到勒貝格積分理論確立之後才有深刻的揭示。勒貝格積分的出現對於傅立葉展開的研究顯然促進了一大步，但依舊顯示出了它的局限性。研究拓撲群上的測度是建立群上傅立葉分析的基本問題之一，這個問題自1930年以來，經過哈爾(Haar，A.)、韋伊(Weil，A.)和蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)等人的工作而趨於完善。再如，20世紀初測度論的建立，使得人們對R中的子集關於n維勒貝格測度的性質有了很好的了解。但在處理與R中低維點集有關的數學問題時遇到了困難。在這種背景下，20世紀20年代出現了幾何測度論，它是研究高維空間中低維點集的測度及低維點集上積分的理論。

可測空間

測度的定義域，測度論中的基本概念。設F是基本空間Ω上的σ代數，稱(Ω，F)為可測空間，而稱F中的元素A是(Ω，F)中的可測集，也稱為Ω中的F可測集，簡稱可測集。例如，當F是R中的波萊爾集類B時，(R，B)稱為波萊爾可測空間。當F是R中的勒貝格可測集類L時，(R，L)稱為勒貝格可測空間。可測空間是測度的定義域，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。