測度問題是測度論中的著名問題，是勒貝格(Lebesgue,H.L.)於1904年提出的。
基本介紹
- 中文名：測度問題
- 外文名：measure problem
- 適用範圍：數理科學
簡介,發展,性質,
簡介
測度問題是測度論中的著名問題。
對於直線而論，人們總希望直線上某個測度，關於它可測的集合越多越好。可測集多，意味著可測函式多，從而可積函式也多。對於平面或高維空間的情形也是這樣。
所謂測度問題，就是（直線上）是否存在具有下列性質的測度：
1、具有可列可加性；
2、（直線上的）所有子集都可測；
3、具有平移不變性；
4、[0,1]的測度是1。
發展
測度問題是勒貝格(Lebesgue,H.L.)於1904年提出的，這個問題已經解決，結論如下：去掉測度論性質2,3,4中任何一條，容易舉例說明滿足其餘三條的測度是存在的。性質1,2,3,4全都滿足的測度是不存在的，特別地，直線上必存在不是勒貝格可測的集，這首先是由維塔利(Vitali,G.)於1905年指出的。
性質
如果將測度問題性質1換成1'：具有有限可加性，則滿足1',2,3,4的測度是存在的，但不惟一，這就是著名的巴拿赫定理。
對於空間Rn(n≥2)，則有結論：
當n=2時，滿足1',2,3,4的測度是存在的。
當n≥3時，滿足1',2,3,4的測度是不存在的。
這個問題是由豪斯多夫(Hausdorff,F.)於1914年提出並於1923年解決的。
