《分形幾何中的嵌入問題》是依託華南理工大學，由熊瑛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分形幾何中的嵌入問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：熊瑛
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
嵌入是研究幾何、拓撲的重要途徑，特別是保持某種幾何結構的嵌入。本項目計畫研究分形幾何中的仿射嵌入與雙Lipschitz嵌入，前者保持所在歐氏空間的線性結構，後者則在一定扭曲下保持了度量。我們將研究自相似集的仿射嵌入問題及相關的Furstenberg猜測，探討壓縮比代數性質的不同導致的幾何結構的差異。這個問題源於Furstenberg對乘2和乘3動力系統的研究。Furstenberg猜測，乘2不變集的仿射像與乘3不變集的交一定會比較小，其維數不超過Mastrand定理給出的典型值。我們還將研究分形集的雙Lipschitz嵌入問題，及其與雙Lipschitz等價問題的關係。雙Lipschitz等價問題是分形幾何的重要課題，與代數數論也有密切的聯繫。我們希望在雙Lipschitz嵌入問題上得到一些普遍的結果，以此來推動相對困難的雙Lipschitz等價的研究。
結題摘要
嵌入是研究幾何、拓撲的重要途徑，特別是保持某種幾何結構的嵌入。本項目主要關注分形幾何中的仿射嵌入與雙Lipschitz嵌入，前者保持所在歐氏空間的線性結構，後者則在一定扭曲下保持了度量。通過對嵌入問題以及與之相關的各種問題的研究，我們可以了解相應分形集的幾何結構，並且能夠比較不同分形集的幾何結構的異同之處。 我們主要研究了非齊次自相似集的仿射嵌入問題，利用多重無理旋轉的結果，對於部分情況證明了壓縮比對數可公度猜測；研究了分形集分離結構與gap序列的關係，證明了gap序列的漸進公式；研究了Sierpinski墊片有理方向的截集，並得到了盒維數的相關結果；研究了齊性集的雙Lipschitz嵌入問題和有向圖集的C1嵌入問題；研究了與幾何不變數相關的各種幾何結構問題；並且將這些研究中所得的技巧和方法套用到複雜網路等問題的研究中。
