《序列的極大模式複雜度性質及其在分形中的套用》是依託北京航空航天大學，由薛玉梅擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：序列的極大模式複雜度性質及其在分形中的套用
- 依託單位：北京航空航天大學
- 項目負責人：薛玉梅
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
低複雜度序列是一類序列熵為零或是序列中因子個數增長緩慢的序列，一直是活躍的研究課題。低複雜度序列與分形有密切聯繫，我們所熟知的分形都可以通過這類序列在n維歐式空間的嵌入得到，此外這類序列在動力系統、詞上的組合也有重要的套用。低複雜度序列的性質如何反映相應分形諸如疊代函式系、維數、測度等結構和性質一直是大家關心的問題。本項目著重研究一種新的複雜度--極大模式複雜度：我們將研究什麼樣的序列是低複雜度序列，這些序列的性質以及在分形幾何中的套用。其中最核心的問題是刻畫模式pattern sturmian序列。一方面研究它的一致集、超穩定集以及一致複雜度，這些特徵是序列分類的有力工具，從而提供於分形分類的工具；另一方面研究排列複雜度及極大模式複雜度的套用，包括在序列熵中的套用和模式識別中的套用，這些性質將直接反映相應分形的性質，特別是利用所得結果，研究具有低複雜度序列勢的薛丁格運算元的譜的分形結構。
結題摘要
本項目主要研究符號動力系統的極大模式複雜度,排列複雜度及極大模式複雜度在分形幾何中的套用，以及具有低複雜度序列勢的薛丁格運算元譜的結構。經過項目組全體成員四年的工作，獲得了豐富的成果。共發表標註本項目資助的 SCI 論文17 篇, 核心1篇。所得部分結果發表在Journal of Statistical Physics ,Physica A等.本項目擬定了四個問題：一、極大模式複雜度；二、分形中的套用；三、代換序列的排列和排列複雜度；四、薛丁格運算元譜的研究。 對問題一，我們研究了具有最低極大模式複雜度的序列非周期序列：圓序列，Toplitz序列和稀疏序列譜的性質。 對問題二，我們研究了：（1）笛卡爾乘積集的維數，給出了集合與其笛卡爾乘積集的維數之間的關係； （2）Moran集Hausdorff測度。我們得到了(n,c)-Moran集類中全體集合Hausdorff測度的上下確界；（3）Moran集的重分形分。我們對其精確局部維數存在點的水平集進行重分形分析。並對下密度水平集進行了重分形分析，出現了很多有意義的結果。（4）給出了Brown運動實現的第一個最好的函式。（5）證明了在具有不同豪斯多夫維數的兩類齊次莫朗集A，B存在一單邊Holder連續的同胚映射。對問題三，我們將廣義Morse序列的各種複雜度結合起來統一研究並比較t它們之間的關係。對問題四，我們研究了：（1）Thue-Morse序列勢的薛丁格運算元譜性質研究。證明了跡軌道無界的譜能量點的存在性。（2）倍周期序列勢的薛丁格運算元譜性質研究。證明倍周期序列勢的譜也具有類似於Thue-Morse序列勢譜的性質：對於任意耦合因子，其譜的Hausdorff維數都有正的下界。此外進行了相關的研究：（1）給出隨機數的西格瑪判別法。（2）基於分形模型的複雜網路的研究以及隨機微分方程的研究，我們得到一系列的成果。雖不在項目擬研究的問題中，但也是分形幾何方面的一個套用。綜上所述，本項目所研究符號動力系統的極大模式複雜度以及在分形中的套用，及具有低複雜度序列勢的薛丁格運算元譜的結構都取得很好的成果。同時也豐富發展了動力系統理論，為進一步研究薛丁格運算元以及分形網路等研究打下了堅實的基礎。
