《k-正則序列及其相關分形問題》是依託華南理工大學，由武文擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：k-正則序列及其相關分形問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：武文
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
k-正則序列是自動機序列的推廣，具有生成方式簡單，取值於無限集，有一定的自相似性等特點，是分形、數論和形式語言理論交叉領域的關鍵概念。本項目研究與之相關的兩方面問題：(1) k-正則實數的無理測度的研究； (2) k-正則序列相關分形的研究。我們將涉及實數的有理逼近問題、k-正則序列的Hankel行列式的計算、二維自動機序列對應分形集的性質和Sierpinski地毯無理斜率截集的維數等問題。這些問題均為分形、數論和形式語言理論的交叉問題。我們將結合分形、詞上組合、數論的理論與技巧，在已有結果的基礎上，探索k-正則序列相關分形集的性質，以及k-正則實數的丟番圖性質，尋找它們之間的關聯，並探索解決相關問題的新方法。
結題摘要
k-正則序列是自動機序列的推廣，具有生成方式簡單，取值於無限集，有一定的自相似性等特點，是分形、數論和形式語言理論交叉領域的關鍵概念。本項目中的研究內容為與k-正則序列有關的兩部分內容。 在分形幾何方面：（1）研究隨機編碼樹給出的分形集的Hausdorff維數。建立維數與壓力函式零點之間的聯繫。（2） 研究了一類分形集的截集的Hausdorff維數問題。給出該集合的截集的Hausdorff維數等於Mastrand定理典型值的充分條件。(3) 自動機序列的複雜度問題。我們研究Rudin-Shapiro序列的阿貝爾複雜度及其複雜度函式的漸進性質，並計算其漸進函式圖像的盒維數。 在數論方面: (1) 我們套用Allouche, Peyriere, Wen & Wen的方法研究Cantor序列和一個類Thue－Morse序列的Hankel行列式；並套用Bugeaud的方法，研究Cantor數的無理指數。另外，我們還研究了Cantor序列的k-阿貝爾複雜度，證明其複雜度函式是3-正則的。這是Parreau, Rigo, Rowland, Vandomme於2015年提出的一個猜想的特殊情形。 (2) 研究一類Mahler函式在有理點處的函式值的齊次逼近問題。主要研究齊次逼近測度和線性獨立測度，給出一般的結果，並對經典的例子做詳細計算。這類Mahler函式包含一些k-正則序列和自動機序列的生成函式。（3） 我們研究了由一類特殊的自動機序列生成的sum－free集的自動機性質。（4）研究無窮字元集上Fibonacci序列的詞頻，奇異詞分解等組合性質。
