基本介紹
- 中文名：分形圖
- 作者：曼德布羅特
- 作者英文名：B. B. Mandelbrot
- 時間：1975年
誕生,分形圖,特點,分維,詞的由來,定義,條件,稱為分形,完美結合,套用,行業,工程領域,設計布局,設計素材,器型設計,作用,印刷品,意義,
誕生
數學家曼德布羅特(B. B. Mandelbrot)經歷了不平凡的潛心研究，於1975年出版了他的關於分形幾何的專著《分形、機遇和維數》，標誌著分形理論的誕生。
分形圖
人們談論分形，常常有兩種含義。
其一，它的實際背景是什麼？其二，它的確切定義是什麼？
數學家研究分形，是力圖以數學方法，模擬自然界存在的、及科學研究中出現的那些看似無規律的各種現象。在過去的幾十年里，分形在物理學、材料科學、地質勘探、乃至股價的預測等方面都得到了廣泛的套用或密切的注意，並且由於分形的引入，使得一些學科煥發了新的活力。數學上所說的分形，是抽象的。而人們認為是分形的那些自然界的具體對象，並不是數學家所說的分形，而是不同層次近似。
1985年，曼德布羅特獲得Barnard獎章。這項獎勵專門頒發給那些在物理科學或者其它自然科學中有重大貢獻、有重大影響的人物。在每五年一次的獲獎者名單中，有愛因斯坦、費米這樣一批享譽世界的科學家,可見曼德布羅特的分形研究在科學上的地位和影響。1995年應中國科學界的邀請，曼德布羅特訪問中國並進行演講。
分形圖形同常見的工程圖迥然不同，分形圖形一般都有自相似性，這就是說如果將分形圖形的局部不斷放大並進行觀察，將發現精細的結構，如果再放大，就會再度出現更精細的結構，可謂層出不窮，永無止境。藝術家在分形畫面的不同區域塗上不同的色彩，展現在我們面前的，將會是非常美麗的畫面。
幾乎在曼德布羅特獲得Barnard獎章的同時，以德國布來梅大學的數學家和計算機專家H.Peotgen與P.Richter等為代表，在當時最先進的計算機圖形工作站上製作了大量的分形圖案；J. Hubbard等人還完成了一部名為《混沌》的計算機動畫。接著，印刷著分形的畫冊、掛曆、明信片、甚至T恤衫紛紛出籠。
80年代中期開始，首先在西方已開發國家，接著在中國，分形逐漸成為膾炙人口的辭彙，甚至連十幾歲的兒童也迷上了計算機上的分形遊戲。
我國北京的北方工業大學計算機圖形學小組於1992年完成了一部計算機動畫電影《相似》，這部電影集中介紹了分形圖形的相似性，這也是我國採用計算機數位技術完成的第一部電影，獲得當年電影電視部頒發的科技進步獎。
更多的人陶醉於分形，並非出自科學，而是傾心於分形之美。數學上的審美很難為一般人所理解：一大堆數字、公式、符號怎么體現出來呢？然而，計算機能讓數學的某些內在的美直觀呈現出來，給出其形式化的表達。分形作為一類例證，為數學理論與實踐中所蘊涵的美，給出了一類精彩的註記。充分反映了數學科學中的簡單、和諧、統一的內涵！
分形圖
分形圖一方面，從來不以科學內容本身為主題的藝術創作，也大量引用“動力系統”、“疊代逼近”、“混沌吸引子”等科學術語，進而極力採用計算機繪圖手段，創造出無比神奇的作品。由這一點出發，可以說，藝術家已經開始漫步於科學領地！
另一方面，一向以嚴肅表情面向讀者的科學著作一反常態，書名也竟然浪漫起來：《The Beauty of Fractals》(分形之美)(1986),《Fractals Everywhere》(分形處處可見),《The Algorithmic Beauty of Plants》(植物算法中的美)(1990), ….大量精美的、顯示分形的科學掛圖，喬裝打扮，在美術館展廳登場，接受藝術鑑賞家的評頭論足，科學家也從此跨入了神聖的藝術殿堂！
分形之美，往往須經計算機的處理才能表現出來的。今天，人們可以在網路上，瀏覽與欣賞各種不同風格的分形作品，有的針對科學研究中要表達的一些特別的對象，有的則完全是藝術。網路天地會給你提供許多、美妙驚奇的分形圖畫，令你心獷神怡，也有時令你眼花繚亂。
特點
1.從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的。
2.在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們並不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統的。
分維
在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來：
一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等於與圖形相應的經驗維數。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：
a^D=b, D=logb/loga
的關係成立，則指數D稱為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這裡直線的維數為1（大於0、小於2）。與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線摺疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個與Koch曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那么只能是小數（即分數）了，所以存在分維。其實，Koch曲線的維數是1.2618……。
詞的由來
據曼德布羅特教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之餘偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。
此詞源於拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產生無規碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德布羅特一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規則的、破碎的、分數的。
曼德布羅特是想用此詞來描述自然界中傳統歐幾里德幾何學所不能描述的一大類複雜無規的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮雲，九曲迴腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。它們的特點是，極不規則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形圖。
定義
1973年，曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的構想。分形（Fractal）一詞，是曼德布羅特創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以後，很快就引起了許多學科的關注，這是由於它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。曼德布羅特曾經為分形下過兩個定義：
條件
Dim(A)>dim(A)
稱為分形
然而，經過理論和套用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對於什麼是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。
（ii）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
（iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大於它相應的拓撲維數。
（v）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的疊代產生。
完美結合
有一段時間 google 的圖示變成下面這個樣子，很多人不明白，這是什麼意思，其實這是為了紀念法國數學家Gaston Julia，他發現了在數論中有名的julia序列，就是在這個google LOGO上面看到的數學公式。通過這個數學公式可以在解析幾何上實現很多不規則邊的圖形。學名叫作分形。我們在網上搜尋了一些資料，為大家做一下分形這個圖形學上的概念普及。讓我們來看下面的一個例子。下圖是一棵厥類植物，仔細觀察，你會發現，它的每個枝杈都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言。
如果你是個有心人，你一定會發現在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個部分和它的整體或者其它部分都十分形似。其實，遠遠不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天氣到股票的起落等許多現象都具有分形特性。這正是研究分形的意義所在。例如，在道瓊斯指數中，某一個階段的曲線圖總和另外一個更長的階段的曲線圖極為相似。
上圖中的風景圖片又是說明分形的另一很好的例子。這張美麗的圖片是利用分形技術生成的。在生成自然真實的景物中，分形具有獨特的優勢，因為分形可以很好地構建自然景物的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一個普遍特徵是具有無限的細緻性。上面的動畫所演示的是對Mandelbrot集的放大，只要選對位置進行放大，就會發現：無論放大多少倍，圖象的複雜性依然絲毫不會減少。但是，注意觀察上圖，我們會發現：每次放大的圖形卻並不和原來的圖形完全相似。這告訴我們：其實，分形並不要求具有完全的自相似特性。
不管你信不信，上面的這張月球表面的照片也是用分形技術生成的。如果你把圖片放大觀看，也可以看到更加細緻的東西。因為，分形能夠保持自然物體無限細緻的特性，所以，無論你怎么放大，最終，還是可以看見清晰的細節。
Sierpinski三角形也是比較典型的分形圖形，它們都具有嚴格的自相似特性（仔細看看，是不是這樣？）。但是在前面說述的Mandelbrot集合卻並不嚴格自相似。所以，用“具有自相似”特性來定義分形已經有許多局限了。
套用
行業
在製作分形圖形的過程中，我找到了許多結構，發現它們能夠形成有規律的平鋪圖形。而這種圖形很適合用在剛提到的這些領域，反觀當下的平鋪圖，都千篇一律，沒有新意。分形圖最具價值的地方就是它的結構和規律，如果用在這些領域，會產生怎樣的價值呢？
工程領域
這些年視覺工程領域越來越受歡迎了，2013春晚的效果非常棒。其中有個剪花花的節目，裡面有些分形的味道。其實國外很多大片都套用了分形，早在星球大戰里，黑武士和天行者拼光劍的時候，那周圍噴涌的岩漿，就是利用分形生成的。用來藝術創作的分形軟體有不少了，而且還發展的比較成熟，可以進行動畫的製作。這類藝術創作軟體能做出比電影裡更絢麗的特效來。很多分形藝術作品具有很好的裝飾性，如果根據需要的環境、情景來挑選適當的分形軟體來做視覺特效的話，效果可以非常棒。其實春晚剪花花里的那段萬花筒效果已經做的非常到位非常好看了，然而在分形軟體里只是一個很小的把戲而已，人們沒看到過的震撼效果，分形軟體里還多著呢，只是需要一位技術嫻熟的分形藝術家而已。
設計布局
分形藝術中優美豐富的圖形可以套用到各種布局中 如舞台設計,園林設計，建築設計等（悉尼歌劇院）。舉個例子吧，我們在apophysis里經常用到julian、龐加萊這些變幻，能夠把任何結構嵌入到這兩種結構里去，形成很華麗驚艷的效果。比如說園林設計里，如果你按照julian的某些形態去構建一些構造，將原來呆板的布置按照分形圖形的結構去擺放，像花壇這種就非常好。比如舞台藝術中，那些燈光的效果、舞蹈造型、舞台造型等等。分形藝術不僅僅是好看而已，她裡面還蘊含了深刻的哲學美感，如果一些現實套用採用了分形方案，將可能是非常有創意、深度、境界的設計。
設計素材
如廣告業，作為素材製作新穎的廣告畫面，各類商品包裝的設計，網站設計等。
器型設計
最經典案例的莫過於國外那條價值連城的julia集鑽石項鍊，珠寶設計師把一顆顆鑽石、藍寶石按照julia集的分形結構給串聯在一起，產生了史無前例的絕美效果。這是一種提升競爭力的有效方法，當很多商家都在生產相同功能、外形相近的產品時，如果哪一家採用了分形元素，可能結果就大不一樣了。
作用
隨著生活水平的提高，人們越來越注重生活品味了。分形藝術的最顯而易見的優勢就是很好的裝飾性。選擇比較有個性、優美的分形元素，可以起到很好的裝飾效果。最簡單的方法就是分形藝術裝飾畫、牆貼、藝術壁紙等了。
印刷品
書籍插畫、掛曆、檯曆、海報、明信片、郵票等等，甚至可能的話，以後哪一版的人民幣將會採用分形圖案。因為分形圖案可以做到複雜的精細的令人難以置信的程度，這樣的人民幣可能是非常難偽造的。生成一個複雜的分形圖案，如果刪除了設計時的參數代碼，那就可以做到一勞永逸地防止盜版了，就連設計師本身也幾乎不可能做個一模一樣的出來。因為沒有代碼和參數，是無法再現該圖案的。
意義
上世紀80年代初開始的“分形熱”經久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展套用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數學與藝術審美的統一，而且還有其深刻的科學方法論意義。
