分形幾何與複分析交叉領域的幾個問題

《分形幾何與複分析交叉領域的幾個問題》是依託湖南大學，由董新漢擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：分形幾何與複分析交叉領域的幾個問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：董新漢
• 依託單位：湖南大學

中文摘要

分形幾何是一個新興學科，發展過程中產生了許多新觀點，新方法和新技巧，也解決了一些歷史遺留問題和解釋了一些混沌現象. 同樣，分形幾何與複分析的交叉研究也給經典複分析提出新觀點和注入新活力. 本項目研究分形幾何與複分析交叉領域的幾個問題. 首先研究平面上具有disk-like性質的自仿Tile，涉及它的邊界維數、共形模、f的積分平均譜等, 這裡f是單位圓盤到這個Tile的共形映射. 其次研究緊集K上的函式代數性質：f(K)=f(C)和Sierpinski墊上的Strichartz猜想，這裡C代表擴充複平面. 第三，我們繼續研究解析函式的Cantor邊界性質(CBB)，涉及邊界維數，區域外邊界的原像的測度和維數. 最後我們研究聯繫到婁伍拉方程的驅動項、容量、Hull之間的關係，以及這個方程與CBB的交叉信息.

結題摘要

NNSF--11571099結題摘要本項目圍繞分形幾何與複分析、Fourier分析交叉領域展開研究. (1) 在分形幾何與複分析交叉研究方面, (1.1)我們考慮一類具有某種對稱性的吸引子K，研究其上的豪斯道夫測度的Cauchy變換F，我們刻畫了F的幾何性質與分形性質，例如像區域的星形性質、凸性性質、F的單葉性質以及F在K附近的混沌性質； (1.2)我們證明了函式代數上關於像區域覆蓋的一個猜想(著名數學家Strichartz提出)，並將其推廣到高維空間；(1.3)我們還研究了Loewner方程的驅動項與跡,確定了驅動項的Hölder指數的變化範圍(在之前是一個盲區). (2)在分形幾何與Fourier分析交叉研究方面, 有一個百年老問題, 即是否存在奇異非原子測度μ適合它的平方可積空間中的函式均有Fourier展開. 1998年P. Jorgensen 和S. Pedersen找到了一個這樣的測度μ(稱為譜測度). (2.1) 我們建立了多個判別法, 確定了一類分形測度的譜性(是譜測度或不)，(2.2)對一類譜測度μ,確定了它的譜具有樹結構以及具有scalling性質的判別條件. (3) 關於復動力系統的有關問題, 我們研究了只有一個自由臨界軌道的正規有理函式的動力系統，給出了其Julia集合的拓撲分類. 本項目發表26篇論文(均有標註)，其中SCI論文22篇，國際數學權威期刊5篇(例如Trans. Amer. Math. Soc., Journal of Functional Analysis等). 培養了2位博士和2位碩士，其中送2位博士生到美國和加拿大聯合培養一年.