《拓撲動力系統與分形幾何》是依託中山大學，由周作領擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：拓撲動力系統與分形幾何
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：周作領
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
動力系統與分形幾何是兩個獨立但有密切關係的學科。申請者多年來形成動力系統-遍歷理論-分形幾何的研究方向，作出一系列好成果，並於近四年內完成兩部專著，總結了過去的成果,提出一系列新問題。在動力系統中，我們曾提出測度中心和弱（擬弱）幾乎周期點的概念，發現系統的不變測度和混沌均有三個層次，而遍歷測度具有特殊的重要性，使動力系統研究得以深入一步。在分形幾何中我們推翻了國外學者提出的兩個猜測，使一個被長期塵封的重要概念- - -上凸密度，得以復甦，並形成滿足開集條件的自相似集的Hausdorff測度理論研究和計算了一個新的理論體系（包括我們提出的新的研究領域- - -自相似集的結構）。我們的兩項研究均屬原創性的，而非跟在國外學者後面跑，因而我們提出的問題也帶根本性，重要性經得起時間考驗，影響深遠，引起國內外學者竟相研究。我們提出的問題有些已解決，有些尚待解決。本課題目標是在兩個領域深入研究我們自己提出的問題
結題摘要
我們按計畫開展了動力系統和分形幾何研究，共發表論文12篇，並有一篇待投。我們長期從事動力系統和遍歷理論研究，獲得一系列重要成果，並提出一系列問題。本項研究就是我們過去研究的繼續，主要研究內容是拓撲熵，測度中心結構和混沌三者之間的關係，其中涉及申請者提出的弱幾乎周期點和擬弱幾乎周期點的拓撲結構和遍歷性質等等；分形幾何最基本的概念是維數與測度，它們又各種分為多種不同形式，其中最基本的是Haosdorff維數與Hausdorff 測度。我們的研究我們主要是集中在Hausdorff測度理論與計算方面。Hausdorff測度計算非常困難，甚至連最簡單的滿足開集條件的自相似集也是如此。我們的研究就從滿足開集條件的自相似集開始。我們曾提出最好覆蓋和最好形狀的概念，得出到類Hausdorff測度計算的等價條件。這個結果與另一個數學基本問題建立聯繫，即凸集理論。在凸集理論中一個典型問題是最佳化問題，即具有給定直徑，空間什麼幾何圖形占有最大體積（面積）？我們在研究Kockh曲線的Hausdorff測度時提出一個帶約束條件的最佳化問題，例如給定一點出發兩條射線，具有給定直徑什麼圖形具有最大面積，該圖形含頂點且夾在兩射線之內？這個問題由中山大學三位博士給出答案（其中一位是本課題組成員）。除此之外，我們對中心測度亦開展研究。
