《代換動力系統和分形Tiling的結構》是依託華中科技大學，由譚波擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：代換動力系統和分形Tiling的結構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：譚波
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
結合分形幾何、符號動力系統、Tiling理論以及詞上組合等領域的方法和技巧，本項目研究代換動力系統與分形 Tiling 的結構。特別的，我們將從詞上組合的角度來研究代換序列的組合性質；以可逆Pisot代換系統的譜性質為突破口來研究Pisot猜測，並考慮相同關聯矩陣對應的不同代換動力系統之間的關係；在已有工作的基礎上，研究平面自仿 tile 邊界的拓撲性質和參數化問題；考慮四個字母上的Pisot代換生成的Rauzy分形的有關性質。.項目研究的內容為幾個相關領域的交叉點，我們將著眼於研究代換性/自仿性/圖遞歸性在各相關領域的相同與不同的體現。
結題摘要
項目研究代換動力系統和分形Tiling的結構問題. 通過綜合分形幾何、符號動力系統以及詞上組合學等方面特點和技巧，在已有研究的基礎上，能推動這些領域的發展並可望開闢新的研究領域。重分形分析, 非齊次Diophantine逼近等問題是動力系統以及度量數論的研究中的重要課題, 理解分形Tile的性質, 特別是拓撲性質這一問題與許多問題都有密切的關係, 比如譜集猜測等. 另外, Hausdorff測度以及有限符號序列的複雜度的精確計算也是相關領域中的困難問題, 相關研究往往只涉及到上下界的估計. 迄今為止, 並沒有Hausdorff 維數是大於1 的非整數的集合的Hausdorff測度被精確計算例子, 也沒有系統的研究課精確表出複雜度的非平凡的例子.我們以 $\beta$ 展式為一個重要的研究對象, 通過用具有好性質的子系統逼近的原系統的技巧, 考慮了 $\beta$動力系統中的局部化的重分形問題, 比較了局部化的結果和經典結果. 我們研究了有限域上的形式Laurant 級數中的非齊次Diophantine 逼近問題, 表明在形式級數域與經典的實數情形下相關結果的異同點. 我們系統的研究了分形Tile 的性質, 通過推廣焊接引理, 推廣纖維的概念, 把相關的結論用於刻畫高維的同胚於單位球的分形Tile, 平面的連續集的局部連通性, 自相似集合的割點和割集的研究中. 我們具體的研究了高於1維的Hausdorff測度的精確計算, 以及兩個字母的代換的不動點的複雜度的精確表達式, 說明從有限個初值出發, 複雜度序列可以由遞歸的方式給出. 這些問題是分形幾何和Tiling動力系統, 詞上組合學研究中的重要的研究課題. 我們的研究將為相關問題的研究提供一定的思想和方法, 相應問題的解決將有利於推動分形幾何, 動力系統和詞上組合的研究.
