《重分形理論及套用中的若干問題》是依託華南理工大學，由吳敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：重分形理論及套用中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳敏
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的研究內容主要涉及測度的重分形分析、動力系統中的重分形譜及重分形理論在金融中的套用，是一個分形幾何理論及套用中的重要研究課題，也是國內外同行所關注的研究熱點。（1）我們將分類、系統深入地研究一般Moran測度的局部性質及重分形性質、各種維數譜的計算、它們之間的關係、其重分形機理成立的條件；當其支撐無正則性時，其重分形維數譜的合理的解釋、計算等。（2）研究無限型子平移上Gibbs測度的各種重分形譜，進而尋求點態維數的熵譜和局部熵的維譜的計算方法。（3）通過引入一個新的隨機過程，建立一個具有重分形結構的股票價格模型，即混合重分數student股票價格模型，研究在不同標度下，股市收益可預測的能力，計算收益率的重分形維數，利用其重分形維數與Hurst指數之間的關係估計股市風險的大小，並通過實證分析，修正參數改進擬合效果。這些問題相對獨立但密切相關，具理論及套用雙重重要意義。
結題摘要
進行該課題以來,在重分形理論及套用以及分形集的Lipschitz等價方面取得系列重要成果,在國內外重要刊物上發表論文21篇,其中SCI源文獻20篇、國際期刊18篇。在重分形理論研究方面，首先對滿足開集條件的自相似測度,證明了其發散點集與其支撐集的Hausdorff維數相等,改進了Barreira等人在強分離條件下的結果;隨後研究了發散點集的結構，證明了發散點集不是孤立點集既是一閉區間，在發散點集為閉區間時，確定了發散點集為閉區間的點所成之集的Hausdorff維數。解決了Olsen 和Winter的一個猜想。這一結果也擴展了Arbeiter 和Patzschke的關於自相似測度在開集條件下重分形分析的經典結果。進一步,證明了該集是剩餘集。對一類非正則的Moran集，研究了其重分形形式。對中間空隙小於壓縮比的Cantor集, 分別給出了Cantor測度的上、下點態密度的明確公式,並對公式中的關鍵量給出了刻畫。對不滿足開集條件的自相似測度, 我們給出q≦1 時上、下Lq- 譜的非平凡的上、下界估計(q≧1的情形相對簡單)。關於分形集的Lipschitz等價性的研究方面, 我們證明了直線上Hausdorff維數為1的一類相當廣泛的Moran集都是擬對稱極小集，並且得到了一個計算直線上Moran集的Hausdorff維數的更廣泛的公式。進一步,我們研究了一類由嵌套方塊模式生成的分形集的Lipschitz等價性，其結果較完整解決了David和Semmes提出的問題。我們還證明了一類三角形模式生成的自相似集的Lipschitz等價性。我們證明了直線上一類Moran集是關於Packing維數的擬對稱極小集。對滿足specification性質的拓撲動力系統,證明了不滿足Birkhoff遍歷定理的點集或者是空集或者是剩餘集, 計算了Birkhoff平均的精細不正則集的拓撲熵，給出了Birkhoff 平均的不正則點集具有滿拓撲熵的一個簡潔證明。關於重分形在金融中的套用研究方面,研究了當股票價格服從分數Black-Scholes,分數長記憶隨機波動率及分數Student's t-distribution模型下的期權定價.通過“錨定-調整”論述，得到了歐式期權的定價公式及及期權的最小价格；討論了交易費、分形標度與隱含波動率微笑之間的關係。並用重分形觀點解釋了期權的隱含波動率微笑現象。
