《重分形與離散薛丁格運算元中的幾個問題》是依託清華大學，由瞿燕輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：重分形與離散薛丁格運算元中的幾個問題
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：瞿燕輝
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬研究重分形與離散薛丁格運算元中的幾個基本問題。在重分形方面，我們擬研究最一般框架下的重分形分析，得到推廣的重分形公式。在離散薛丁格運算元方面，我們擬研究具Toeplitz勢的高維薛丁格運算元的譜結構和譜測度的譜型。作為結合兩個領域的嘗試，我們擬研究具Fibonacci勢的薛丁格運算元的譜上自然支撐的Gibbs測度與譜測度的關係，以及它們的重分形分析。本項目的研究有助於加深對重分形和離散薛丁格運算元的理論認識，同時對他們套用於各個領域也具有指導意義。
結題摘要
本項目研究了重分形與離散薛丁格運算元中的幾個問題。重分形與離散薛丁格運算元都根源於物理，前者刻畫一個多尺度複雜系統的水平集的大小，後者研究電子在晶體中的動力學行為。二者都具有明確的物理意義和很強的套用背景。 本項目主要研究了如下四個問題：Sturm 哈密爾頓運算元的譜的分形維數；Thue-Morse哈密爾頓運算元的譜的分形維數；Sturm 哈密爾頓運算元的傳播指數；常型Sturm 哈密爾頓運算元的狀態密度測度。分別獲得如下成果：(1) 對所有的頻率，我們得到了Sturm 哈密爾頓運算元的譜的Hausdorff維數和盒維數的精確公式，並證明維數函式關於勢強度Lipschitz連續，我們還得到維數函式在勢強度趨於無窮時的漸進行為。(2) 我們證明Thue-Morse哈密爾頓運算元的譜的Hausdorff維數有一個絕對正下界，這是該運算元譜的維數方面的第一個結果，且該結果與Sturm 哈密爾頓運算元的譜的維數形成鮮明對比。(3) 對（Lebesgue測度）幾乎所有的頻率，我們得到Sturm 哈密爾頓運算元的傳播指數的上界估計，其是目前最好的估計。(4) 我們證明，對常型Sturm 哈密爾頓運算元，其狀態密度測度是一個Gibbs測度，並且具有重分形結構。 這些結果加深了我們對具準周期勢的薛丁格運算元的譜的理解，揭示了好幾個新的現象。例如，對Thue-Morse運算元的譜的維數的絕對下界的證明，完全出乎專家的意料，因為對Sturm模型，一個熟知的現象是，維數會隨勢強度的增加而趨於零。另一方面，我們證明常型Sturm運算元的狀態密度測度是一個重分形測度，這也是非常新奇的現象，這個研究直接把重分形和離散薛丁格運算元兩個方向聯繫起來了。
