《測度的重分形分析及相關問題》是依託華南理工大學，由吳敏擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：測度的重分形分析及相關問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳敏
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究測度的重分形分析及相關問題，是一個分形幾何理論及套用中的重要研究課題，也是國內外同行所關注的研究熱點。我們將重點研究和擬解決下面幾個相對獨立但密切相關的問題。（1）重分形量綱及分類，包括對具有一定正則性的測度尋求其重分形分支具有重分形量綱的充要條件，研究帶量綱函式的重分形分支的大小、結構及性質，用重分形譜對集合分類。（2）擬對稱映射對分形測度性態的改變，主要研究分形測度在擬對稱映射下重分形譜及維數的變化。（3）重分形綱性，對一些相對好的測度研究產生重分形綱性現象和非綱性現象的因素和條件。這些問題既是國際分形幾何的研究前沿,也體現了分形幾何、幾何測度論和擬對稱映射理論的交叉，不僅需要融合不同學科的思想方法，還需要發展新方法和技巧，它對進一步豐富和推進分形幾何、幾何測度論及擬對稱映射相關理論的發展具有十分重要的意義。
結題摘要
進行該課題以來，在測度的重分形分析及分形集的分類、動力系統中的重分形問題方面取得系列重要成果,在國內外重要刊物上發表論文23篇,其中SCI收錄23篇、國際期刊20篇。我們對一類廣義Cantor集，用間隔和間隔數序列給出其Hausdorff和Packing測度及維數的刻畫；證明了其有一個連續凸的量綱函式，用量綱函式給出廣義Cantor集的三種分類及分類的等價條件刻畫；進一步，對支撐在其上的機率測度，研究了帶量綱函式的局部維數、重分形分解及相關的分類問題。對度量空間中Borel測度，給出了關聯維數的積分形式和離散形式表示，證明了其是擬-Lipschitz不變數；研究了測度的關聯維數和Hausdorff維數之間的關係及二者相等的充分條件；給出一類Moran結構集上的Borel測度的下上局部維數的刻畫。研究了幾種類型的例外集的測度、維數及拓撲性質，比如Erdos和Renyi極限定理的例外集、[0,1]中點x關於序列{qn}的Cantor展式的例外集、數的β-展式中與基本區間的長度有關的收斂速度和速率的例外集、直線上點沿格點隨機行走前n步回復到原點的次數的增長速率有關的例外集、緊度量空間上與Birkhoff平均的各種收斂性有關的例外集等。我們將連通加倍空間到加倍空間的擬對稱映射是弱擬對稱映射的結果推廣到緊一致完全集，給出了其在一維廣義Cantor集中的套用；並對幾何正則的擬對稱等價的一維廣義Cantor集之間的擬對稱映射給出了等價刻畫。對一類廣義Cantor集給出了用加倍測度分類的等價刻畫。研究實數的β-展式和連分數展式的基本區間的關係中出現的隨機變數序列{K_n (x)}，當β=10時，Lochs 得到時{K_n (x)}的強大數定律、Faivre和Wu得到{K_n (x)}的中心極限定理和重對數率，對β是非整數時，已有方法失效，我們對任何β＞1，得到了{K_n (x)}的中心極限定理和重對數率。我們定義了一種包含經典連分數的隨機連分數。給出關於隨機連分數的Lévy常數的極限定理，該結果推廣了Lévy關於Lévy常數的定理，並且給出了其依測度收斂到Lévy常數的收斂速度。
