n維微分流形是從直線、曲線、平面、曲面、幾何體等等圖形抽象出來的概念，1維、2維流形很容易畫出來，高維的流形就很難畫出來了。從字面翻譯來看，流形不是圖形，流形是軟的可以流動拉伸變形，圖形是“硬”的，不變的。微分流形更是光滑的流形，說它光滑就是每一個點都有無窮維導數存在，是連續可導的，沒有突變的光滑形狀。但是總可以找到一種方法將n維的空間的圖形通過一種固定的轉化運算一 一對應的轉化到流形上去，而且這種轉化是可微的。n維微分流形也簡稱n維流形。來看n維微分流形的例子。一維流形，一維流形的例子，最簡單的是空間中的一根曲線，例如螺旋線，它本來是3維立體空間中的一條曲線，圖形也是直觀的、可見的，找到一種螺旋線在Z軸上的投影為計算方法，那么螺旋線上的任何一點，都可以唯一的投影到Z軸上，投影也只有一個點，z軸上的任何一點也有且僅有一個點可以映射到螺旋線上，這樣在3維立體曲線與Z軸這個一維圖形之間就建立了一個處處可微的映射，螺旋線就是一個一維微分流形，3維立體圖形，簡稱為一維流形，說成流形它就只有一維，作為圖形它實際是3維的。流形的概念使曲線最本質的東西是只在一維發生變化被抽象出來，儘管它本身占據了3維的空間，但是多餘的維度在流形中被刪除掉了。沿著曲線的路程變化就是在Z軸上的爬升，這個曲線上的螞蟻只能感受到的唯一變化量被流形概念突出出來。
基本介紹
- 中文名：n維微分流形
- 外文名：n dimensional differentiable manifold
- 適用領域：微分幾何
- 所屬學科：數學
定義,性質,套用,
定義
n維微分流形的定義
M通常就是一個Hausdorff拓撲空間，所謂空間，就是一系列的幾何，例如一系列的點，一系列的面，一系列的體等等，也可以是一系列的非數學概念的集合。Hausdorff空間就是只要集合中兩個元素如果不相同，那么它們之間總可以找到兩個沒有公共部分的集合分別包含了這兩個元素，即即使兩個點挨得再近，只要不是完全想等，那么它們之間就總是有一段距離，只是這個距離有遠有近，不至於出現不同的點卻沒有距離的現象，這就是Hausdorff空間，就是不同點之間就有或大或小的距離。這種空間中由點組成的圖形，很複雜，就算再怎么複雜，如果它可以分割成一個一個簡單局部的非空集合的並集Ua,每一個並集中的小集合，不管這個小集合是幾維空間中的什麼圖形，總之通過某種映射，它可以從n維空間中的圖形轉換而來，而且每個點都與這個n維圖形對應。如果小集合之間有重合的部分，則這些重合的部分在一個小集合中的點可以方便的從n維集合中對應到若干維空間中，再從若干維空間逆映射到n維的另一個小集合中，即可以從一個圖按照對應關係連線到另一個圖，所有的圖組成圖冊，每個小圖拼成一個大圖。其中最容易理解的例子是地球地圖，大地球就是一個3維曲面圖形，這個圖形，有形，可見，它可以看作是很多國家的地圖的圖冊，每個國家都會將自己周圍的地區也比照的畫在地圖上，成為一個國家小平面地圖，每個國家的平面圖就是小集合，他們組成地球這個大集合，地球這個三維的大集合可以是每個國家的小平面二維圖形拼接而成的，世界每個國家的地圖訂裝為圖冊即是M，每個國家的圖就是圖Ua，地圖這個三維圖形就降維成為2維流形，成了局部小平面圖，最本質的東西，東西南北多少公里的感覺被展現出來，而地面的彎曲是這個圖形的整體屬性，人根本感受不到，在圖中也不必要體現，這就是2維流形嵌入3維空間的例子。同理可以將n維流形，嵌入到m維的空間之中，將1維流形嵌入到三維空間中就是大家看到的空間曲線；將1維流形嵌入到二維空間中就是大家看到的平面曲線，或者曲面上的曲線；將1維流形嵌入到1維線上，這個更簡單，就是曲線到曲線上的變換；將1維流形嵌入到4維空間中，就無法在紙面上或者三維立體空間當中展示出來了，這時只能靠想像。再來說2維流形嵌入3維空間中，就是空間中的曲面，曲面上的經線緯線就是二維流形的坐標；2維流形就無法嵌入1維空間中，所以被嵌入的空間維度總要大些，這也是流形的映射性質決定的，二維流形，兩個變數坐標，無法找到一種映射將1維空間同胚映射到2維空間中那就憑空產生了一個變數，所以流形的維度總要小些，而它嵌入的空間維度總要大些。3維以上的空間又很難直觀畫出來。這就是理解上的難處。
性質
由3維曲面的切向量開始引申，二維流形的切向量即是R對坐標u、v的導數，它們的叉積即是法向量，由此引申，n維流形的切向量就是對n維坐標的偏導數.於是就用偏導數代替局部方向，
套用
模式識別中用來降維處理，廣義相對論中偽黎曼空間就是個4維空間他有4個維度，空間三個xyz軸時間一個維度it其中i是虛數單位，空間的三個維度線性無關，即兩兩點乘的結果，x.x=1,x.y=0,x.z=0,相同方向點乘結果為1，不同方向點乘結果為0，它們兩兩相互垂直。加上it軸以後，假定it，x,y,z兩兩點乘有一樣的結果，就像四維向量的點乘，四個方向各占一個方向，因為實際中看不到，所以成為偽黎曼空間。it.x=0,it.it=-1等等。任何物理事件都是一個4維流形的點，嵌入到4維空間中。
