矩陣行列式

矩陣行列式(determinant of a matrix)是指矩陣的全部元素構成的行列式，設A=(a_ij)是數域P上的一個n階矩陣，則所有A=(a_ij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。若A，B是數域P上的兩個n階矩陣，k是P中的任一個數，則|AB|=|A||B|，|kA|=kn|A|，|A*|=|A|^n-1，其中A*是A的伴隨矩陣；若A是可逆矩陣，則|A^-1|=|A|^-1。

基本介紹

• 中文名：矩陣行列式
• 外文名：determinant of a matrix
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(矩陣)
• 簡介：矩陣的全部元素構成的行列式

基本介紹

一個n×n的方陣A的行列式記為det(A)或者|A|，一個2×2矩陣的行列式可表示如下：

把一個n階行列式中的元素a_ij所在的第i行和第j列划去後，留下來的n-1階行列式叫做元素a_ij的餘子式,記作M_ij。記A_ij=(-1)^i+jM_ij，叫做元素a_ij的代數餘子式。例如：

一個n×n矩陣的行列式等於其任意行(或列)的元素與對應的代數餘子式乘積之和，即:

相關定理

定理1 設A為一n×n矩陣，則det(A^T)=det(A)。

證 對n採用數學歸納法證明。顯然，因為1×1矩陣是對稱的，該結論對n=1是成立的。假設這個結論對所有k×k矩陣也是成立的，對(k+1)×(k+1)矩陣A，將det(A)按照A的第一行展開，我們有：

det(A)=a₁₁det(M₁₁)-a₁₂det(M₁₂)+-…±a_1,k+1det(M_1,k+1)，

由於M_ij均為k×k矩陣，由歸納假設有

此式右端恰是det(A^T)按照A^T的第一列的餘子式展開。因此

定理2 設A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等於A的對角元素的乘積。

根據定理1，只需證明結論對下三角形矩陣成立。利用餘子式展開和對n的歸納法，容易證明這個結論。

定理3 令A為n×n矩陣。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全為零，則det(A)=0。

(ii) 若A有兩行或兩列相等，則det(A)=0。

這些結論容易利用餘子式展開加以證明。