范德蒙行列式

一個e階的范德蒙行列式由e個數c₁，c₂，…，c_e決定，它的第1行全部都是1，也可以認為是c₁，c₂，…，c_e各個數的0次冪，它的第2行就是c₁，c₂，…，c_e（的一次冪），它的第3行是c₁，c₂，…，c_e的二次冪，它的第4行是c₁，c₂，…，c_e的三次冪，…，直到第e行是c₁，c₂，…，c_e的e-1次冪。

基本介紹

• 中文名：范德蒙行列式
• 外文名：Vandermonde determinant
• 所屬學科：數學
• 套用：求線形遞歸方程通解等

定義

形如

的n階行列式稱為范德蒙行列式。

定理

若 為 階范德蒙行列式，則有

這裡 表示所有同類因子 (其中 )的乘積，即

證明 用數學歸納法作證明。

當 時， ，結論成立，假設該結論對 階范德蒙行列式成立，即

考慮n階范德蒙行列式的情形

從第n行開始，自上而下依次的由下一行減去它上一行的倍 ，有

按第一列展開後提取公因式，得

於是有

相關計算

例1 計算行列式

注意到該行列式是一個第二行為1，2，3，4的四階范德蒙行列式，於是有