外爾特徵標公式

外爾特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李群不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫爾曼·外爾。

基本介紹

• 中文名：外爾特徵標公式
• 外文名：Weyl's character formula
• 分類：李群表示論
• 領域：數理科學

定義

群G的表示r的特徵標為一函式 ， ，其中Tr 為線性運算元之跡。（由彼得-外爾定理 可知緊李群的任何不可約表示都是有限維的；故跡之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外爾特徵標公式用群G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮復表示，不失一般亦設其為酉表示，因而“不可約”亦等價於“不可分解”（即非二子表示之直和）。

公式

緊李群G 之不可約表示之特徵標符合下式：

其中：

1、ρ 為群G 之外爾向量，即各正根之和之半；

2、W 為 外爾群；

3、λ 為不可約表示之最高權；

4、α 遍歷G之每一正根。

外爾分母公式

在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外爾特徵標公式簡化成 外爾分母公式：

若G為特殊么正群，則簡化成范德蒙行列式的等式：

外爾維度公式

若只考慮單位元1之跡，則外爾特徵標公式 特殊化成 外爾維數公式：

其中，

1、 VΛ為有限維表示，其最高權為Λ；

2、ρ為外爾向量，

3、α 遍歷所有正根。

由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

Freudenthal 公式

Hans Freudenthal發現了權重數符合遞歸公式。此公式等價於外爾特徵標公式，而在某些情況下更簡便。公式為：

其中

1、 Λ 為一最高權，

2、λ 為另一權，

3、dim Vλ 為權λ 之重數，

4、ρ 為外爾向量，

5、外和中之 α 歷遍所有正根。

外爾-Kac 特徵標公式

外爾特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代數之可積最高權表示 ——外爾-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代數，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式：

此特徵公式可推廣至廣義卡茨-穆迪代數之可積最高權表示：

其中 S 為一修正項：

其中 I歷遍虛簡單根集內 所有與最高權正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。

而Monster 李代數之 分母公式 則為橢圓模函式j之積公式：

Peterson 發現了（廣義）可對稱化卡茨-穆迪代數之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外爾-卡茨分母公式，但更便於計算：

其中γ 與 δ 遍歷所有正根，而