《大學生數學手冊》是2010年10月1日化學工業出版社出版的圖書，作者是楊永愉。本書主要是針對準備考研的讀者學習高等數學、線性代數、機率論與數理統計等知識的手冊。
基本介紹
- 書名：大學生數學手冊
- 作者：楊永愉
- ISBN：9787122094957
- 定價：15.00元
- 出版社：化學工業出版社
- 出版時間：2010年10月1日
- 開本：16開
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《大學生數學手冊》包含三部分內容：高等數學（微積分）、線性代數、機率論與數理統計.歸納總結了三部分內容中的定義、定理、公式、法則和方法.為便於讀者學習和使用，在內容的編排順序上與同濟大學版高等數學保持一致；在目錄上列出了手冊中的重點條目；在每一章的最後，提供了本章知識點之間的關聯網路.本手冊對正在學習高等數學、線性代數、機率論與數理統計和複習準備考研究生的讀者都有極大參考價值；此外，對於曾經學過大學數學課程,並希望在短時間內迅速複習和回憶大學數學內容的讀者也具有重要的參考價值.
圖書目錄
第1章 函式極限連續1
1.1 映射與函式1
集合1
鄰域1
映射2
函式3
函式的基本特性6
基本初等函式7
初等函式121.2 數列的極限及其性質13
數列13
數列極限13
數列的有界性14
收斂數列的性質141.3 函式的極限及其性質15
極限定義（x→x0）15
極限定義（x→∞）16
函式極限的性質171.4 無窮小與無窮大19
無窮小19
無窮小與函式極限關係19
無窮大20
無窮大與無窮小關係201.5 極限運算法則20
無窮小運算法則20
極限的四則運算法則211.6 極限存在準則兩個重要極限21
夾逼準則21
單調數列22
單調有界準則22
兩個重要極限221.7 無窮小的比較23
無窮小的比較23
常用等價無窮小23
等價無窮小的充要條件24
無窮小的等價代換241.8 函式的連續性與間斷點25
函式在一點處連續定義25
函式在開區間上連續26
函式在閉區間上連續26
函式的間斷點定義26
第一類間斷點27
第二類間斷點27
連續函式的和、差、積、商
的連續性27
反函式的連續性28
複合函式的極限運算法則28
複合函式的連續性28
基本初等函式的連續性29
初等函式的連續性29
閉區間上連續函式的性質29本章 知識點及其關聯網路30
第2章 導數與微分31
2.1 導數概念31
導數定義31
左導數定義32
右導數定義32
導數幾何意義32
切線與法線公式33
開區間內可導33
閉區間上可導33
導函式定義33
可導性與連續性的關係34
高階導數定義342.2 函式的求導法則34
導數四則運算法則34
反函式求導法則35
複合函式求導法則35
隱函式求導法則35
對數求導法則36
參數方程求導法則37
常數和基本初等函式的導數
公式39
常用高階導數公式39
相關變化率402.3 函式微分概念與微分運算法則41
微分定義41
可微的充分必要條件42
函式在任意點的微分42
基本初等函式的微分公式42
函式和、差、積、商的微分
法則44
複合函式微分法則44本章 知識點及其關聯網路45
第3章 微分中值定理與導數套用46
3.1 微分中值定理46
費馬引理46
羅爾定理46
拉格朗日中值定理46
柯西中值定理46
泰勒公式473.2 導數套用49
極限的未定式49
洛必達法則50
函式單調性判別法則51
函式凹凸性定義51
函式拐點定義52
函式凹凸性判別法53
函式極值定義53
函式極值的必要條件53
函式極值第一充分條件53
函式極值第二充分條件54
函式極值第三充分條件54
曲線的漸近線54
曲線的弧微分公式55
曲率公式56本章 知識點及其關聯網路57
第4章 不定積分58
4.1 不定積分的概念與性質58
原函式定義58
不定積分定義58
不定積分性質594.2 不定積分的計算方法60
直接積分法60
換元積分法60
分部積分法61
基本積分公式614.3 特殊函式的不定積分63
(1)有理函式的積分63
有理函式63
有理函式真分式的部分分式
之和公式64
有理函式積分法65
(2)三角函式有理式的積分65
三角函式有理式65
三角函式有理式積分法65
(3)簡單無理函式的積分66
簡單無理函式66
簡單無理函式積分法66
常見的無法用初等函式表示
的不定積分66本章 知識點及其關聯網路67
第5章 定積分68
5.1 定積分的概念與性質68
定積分定義68
可積的充分條件69
關於定積分的兩點規定70
定積分性質70
5.2 微積分基本公式72
積分上限函式定義72
積分上限函式的性質73
牛頓?萊布尼茲公式73
5.3 定積分的計算74
定積分的換元積分法74
定積分的分部積分法75
定積分的幾個常用結果75
5.4 反常積分76
無窮限的反常積分定義76
無窮限反常積分的計算78
無界函式反常積分的定義79
無界函式反常積分的計算81本章 知識點及其關聯網路82
第6章 定積分套用83
6.1 定積分元素法83
定積分元素法83
6.2 幾何套用84
(1)平面圖形面積84
直角坐標系中平面圖形
面積84
極坐標系中平面圖形面積85
(2)空間體的體積86
旋轉體的體積86
平行截面面積已知的空間
體的體積86
(3)平面曲線弧長87
平面曲線弧長的定義87
曲線弧長公式886.3 物理套用89
變力沿直線作功89
水壓力90
引力91
6.4 平均值94
函式的平均值94
函式的均方根94
本章 知識點及其關聯網路95
第7章 空間解析幾何與向量代數96
7.1 空間直角坐標系96
空間直角坐標系96
空間點的坐標97
空間兩點間的距離公式98
7.2 空間向量及其運算98
向量98
空間點M的向徑99
自由向量99
向量a與b相等99
向量a與b平行99
向量的模99
單位向量99
向量加法99
向量加法的運算算律100
負向量101
向量的差101
向量與數的乘法101
向量與數的乘法運算
算律101
向量平行的充分必要條件102
非零向量的單位化102
7.3 向量的坐標102
向量坐標102
向量加法、減法和數乘運算
的坐標表示102
向量a//b的坐標表示103
向量模的坐標表示103
兩向量的夾角103
向量的方向角103
向量的方向餘弦及其性質103
向量在軸上的投影104
投影定理104
投影性質104
7.4 數量積向量積混合積105
(1)向量的數量積105
數量積定義105
數量積的性質105
數量積的坐標表示106
兩個向量夾角餘弦的坐標
表示106
(2)向量的向量積107
向量積定義107
向量積的性質107
向量積的坐標表示107
(3)向量的混合積108
混合積的定義108
混合積的坐標表示108
混合積的幾何意義108
7.5 空間曲面及其方程109
曲面方程的概念109
旋轉曲面109
旋轉曲面方程109
柱面110
空間曲面的參數方程111
二次曲面111
二次曲面方程111
7.6 空間曲線及其方程112
空間曲線112
空間曲線的一般方程112
空間曲線的參數方程112
空間曲線在坐標面上的
投影112
7.7 平面及其方程113
平面的法向量113
平面方程113
兩平面的夾角114
兩平面垂直的條件115
兩平面平行的條件115
平面外一點到平面的距離115
7.8 空間直線及其方程115
直線的方向向量115
空間直線方程115
兩直線的夾角116
兩直線夾角的餘弦公式117
直線與平面的夾角117
直線與平面夾角的公式117
直線外一點到直線的距離117
本章 知識點及其關聯網路118
第8章 多元函式微分法及其套用119
8.1 多元函式的基本概念119
坐標平面119
平麵點集119
平面上點P0的δ鄰域119
平面上點P0的去心δ
鄰域120
內點120
外點120
邊界點與邊界120
聚點121
開集121
閉集121
連通集121
區域(或開區域)121
閉區域121
有界點集和無界點集122
二元函式定義122
n元函式定義122
二元函式極限定義123
二元函式連續定義123
二元函式間斷點定義124
多元連續函式的和、差、
積、商的連續性124
多元連續函式的複合函式的
連續性124
多元初等函式的概念124
多元初等函式的連續性124
有界閉區域上連續函式的
性質125
8.2 偏導數126
二元函式偏導數定義126
二元函式偏導數的幾何
意義127
二元函式高階偏導數概念128
二階混合偏導與求導順序無關
的條件129
8.3 全微分129
二元函式的偏增量與偏微分
的概念129
二元函式的全增量與全微分
的定義129
全微分存在的必要條件130
全微分存在的充分條件130
n元函式全微分的表達式131
8.4 多元複合函式的求導法則131
中間變數均為一元函式的
情形131
中間變數均為多元函式的
情形132
中間變數既有一元函式又有
多元函式的情形133
全微分形式的不變性133
8.5 隱函式的求導公式134
單一方程情形134
方程組情形135
多元反函式求導公式136
8.6 微分在幾何上的套用139
空間曲線的切線概念139
空間曲線的切向量140
空間曲線的切線方程140
空間曲線的法平面及其
方程140
其他形式的空間曲線方程的
切線與法平面方程140
曲面的切平面和法線的
概念142
曲面法向量的概念142
曲面的切平面與法線方程143
曲面法向量的方向餘弦144
二元函式全微分的幾何
意義145
8.7 方嚮導數與梯度145
方嚮導數定義145
方嚮導數的存在條件和計算
公式146
梯度的概念146
梯度與方嚮導數的關係147
8.8 多元函式的極值及其求法148
二元函式極值的定義148
極值的必要條件149
極值的充分條件149
條件極值與無條件極值150
拉格朗日乘子法150
本章 知識點及其關聯網路①(多元函式微分法)152
本章 知識點及其關聯網路②(多元函式微分法套用)153
第9章 重積分154
9.1 二重積分的概念與性質154
二重積分定義154
二重積分性質155
9.2 二重積分的計算法157
直角坐標系中二重積分的
計算157
極坐標系中二重積分的
計算159
二重積分換元定理161
9.3 三重積分162
三重積分定義162
三重積分性質163
直角坐標系中三重積分的
計算163
柱坐標系中三重積分的
計算166
球坐標系中三重積分的
計算168
9.4 重積分套用171
(1)幾何套用171
曲面面積171(2)物理套用172
質心坐標172
轉動慣量174
引力175
本章 知識點及其關聯網路178
第10章 曲線積分與曲面積分179
10.1 對弧長的曲線積分179
對弧長曲線積分的定義179
對弧長曲線積分的性質180
對弧長曲線積分的計算
公式182
對弧長曲線積分的計算
步驟183
10.2 對坐標的曲線積分183
對坐標曲線積分的定義183
對坐標曲線積分的性質186
對坐標曲線積分的計算
公式186
對坐標曲線積分的計算
步驟188
兩類曲線積分之間的聯繫189
10.3 格林公式190
單連通域與復連通域190
平面區域邊界的正方向190
格林公式190
曲線積分與路徑無關的
概念191
曲線積分與路徑無關的
等價條件191
曲線積分與路徑無關的
充分必要條件191
二元函式全微分求積的
概念192
二元函式全微分求積的
條件與方法192
10.4 曲線積分的套用194
(1)幾何套用194
弧長的計算194
柱面的面積195
(2)物理套用195
線狀物體的質量195
線狀物體的質心196
線狀物體的轉動慣量197
變力沿曲線作功197
10.5 對面積的曲面積分198
對面積曲面積分的
定義198
對面積曲面積分的性質199
對面積曲面積分的計算
步驟和計算公式200
10.6 對坐標的曲面積分202
有向曲面的概念202
有向曲面的方向202
有向曲面在坐標面上的
投影203
對坐標曲面積分的定義203
對坐標曲面積分的性質205
對坐標曲面積分的計算步驟
和計算公式206
兩類曲面積分之間的聯繫208
10.7 高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
10.8 斯托克斯公式環流量和旋度210
斯托克斯公式210
環流量和旋度211
10.9 曲面積分的套用212
(1)幾何套用212
空間曲面面積212
(2)物理套用212
曲面狀物體的質量212
曲面狀物體的質心213
面狀物體的轉動慣量213
本章 知識點及其關聯網路①(曲線積分)214
本章 知識點及其關聯網路②(曲面積分)215
第11章 無窮級數216
11.1 常數項級數的概念和性質216
常數項級數定義216
級數的前n項和數列216
級數收斂和發散定義216
級數餘項定義217
收斂級數的基本性質217
級數收斂的必要條件218
柯西審斂原理21811.2 常數項級數的審斂法218
正項級數定義218
正項級數收斂的充分必要
條件218
正項級數的比較審斂法219
正項級數的比較審斂法
推論219
三個重要級數的斂散性220
正項級數比較審斂法的
極限形式220
正項級數的極限審斂法221
正項級數的比值審斂法
（達朗貝爾(D’Alembert)
判別法）221
正項級數的根值審斂
法（柯西(Cauchy)判
別法）222
交錯級數定義222
交錯級數審斂法（萊布尼茲
定理）222
絕對收斂和條件收斂222
絕對收斂級數的性質22311.3 冪級數224
函式項級數定義224
函式項級數的收斂域和
發散域224
函式項級數的和函式及
餘項225
冪級數226
阿貝爾（Abel）定理226
阿貝爾（Abel）定理推論226
冪級數的收斂半徑、收斂區
間和收斂域226
冪級數收斂半徑的求法227
冪級數的四則運算227
冪級數和函式的性質229
泰勒級數230
麥克勞林級數231
函式展成泰勒級數231
常用函式的麥克勞林級數23111.4 函式項級數的一致收斂性232
函式項級數的一致收斂性232
函式項級數一致收斂性的
判別法（維爾斯特拉斯
（Weierstrass）判別法）233
一致收斂級數的性質233
冪級數的一致收斂性23511.5 複數項級數和歐拉公式235
複數項級數235
複數項級數的收斂性235
複數項級數的絕對收斂性236
歐拉（Euler）公式23611.6 傅立葉級數237
三角級數237
傅立葉級數237
收斂定理（狄利克雷
（Dirichler）充分條件）237
奇函式與偶函式的傅立葉
係數238
正弦級數238
餘弦級數238
以2l為周期的函式的傅立葉
級數239本章 知識點及其關聯網路①(數項級數)241
本章 知識點及其關聯網路②（冪級數、傅立葉級數）242
第12章 微分方程243
12.1 微分方程的基本概念243
微分方程定義243
微分方程的階243
n階微分方程的一般形式243
微分方程的解24312.2 一階微分方程244
可分離變數的微分方程及其
解法244
齊次方程及其解法244
一階線性微分方程245
伯努利方程246
全微分方程247
積分因子24712.3 高階可降階微分方程248
y(n)=f(x)型的微分
方程248
y″=f(x,y′)型的微分
方程248
y″=f(y,y′)型的微分
方程24812.4 高階線性微分方程249
二階線性微分方程249
二階齊次線性微分方程解的
疊加原理249
函式的線性相關與線性
無關249
二階齊次線性微分方程的
通解結構250
n階齊次線性微分方程的
通解結構250
二階非齊次線性微分方程的
通解結構250
二階非齊次線性微分方程解
的疊加原理25112.5 常係數齊次線性微分方程251
二階常係數齊次線性微分
方程251
二階常係數齊次線性微分方程
的特徵方程252
二階常係數齊次線性微分
方程的求解步驟252
n階常係數齊次線性微分
方程252
n階常係數齊次線性微分
方程的特徵方程253
n階常係數齊次線性微分
方程的通解25312.6 常係數非齊次線性微分方程254
二階常係數非齊次線性微分
方程254
f(x)=eλxPm(x)型254
f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+
Pn(x)sinωx]型255本章 知識點及其關聯網路256
第13章 行列式257
13.1 行列式的概念257
排列的逆序與逆序數257
n階行列式的定義257
幾種特殊行列式的值25913.2 行列式的基本性質260
行列式的基本性質260
餘子式和代數餘子式26413.3 行列式按行（列）展開定理264
行列式按行(列)展開
定理264
范德蒙行列式26513.4 克萊姆法則解線性方程組266
克萊姆法則266
克萊姆法則的等價定理267本章 知識點及其關聯網路268
第14章 矩陣及其運算269
14.1 矩陣的概念269
矩陣定義269
幾種特殊矩陣26914.2 矩陣的運算271
矩陣的線性運算271
矩陣的乘法272
方陣的冪273
矩陣的轉置273
方陣的行列式274
共軛矩陣274
對稱矩陣274
反對稱矩陣275
伴隨矩陣27514.3 逆矩陣275
逆矩陣的定義275
可逆的充分必要條件276
逆矩陣的運算性質276
矩陣方程的求解276
逆矩陣的求法27714.4 矩陣的初等變換278
矩陣初等變換定義278
等價矩陣278
初等矩陣278
初等矩陣的性質28114.5 矩陣的秩283
r階子式283
矩陣秩的定義283
矩陣秩的性質283
利用初等變換求矩陣的秩28414.6 分塊矩陣法284
分塊矩陣定義284
常用分塊法284
分塊矩陣的運算286本章 知識點及其關聯網路291
第15章 向量組的線性相關性292
15.1 向量及其線性運算292
向量的定義292
兩向量的相等292
向量的線性運算292
向量線性運算的性質29315.2 向量的線性相關性294
線性組合294
向量的線性表示294
向量的線性相關性295
向量的線性相關性的判別
定理295
向量線性相關性的幾個重
要定理296
向量線性相關性的幾個重
要結論29715.3 最大無關組與向量組的秩297
最大無關組定義297
向量組的秩298
向量組的秩的重要定理29815.4 向量空間298
向量空間298
向量空間的基299
向量空間的維數299
向量在某組基下的坐標299
子空間300
基變換公式300
坐標變換公式30115.5 向量的內積301
向量的內積301
向量的長度302
兩向量的夾角303
正交向量組的性質30315.6 標準正交基與正交矩陣303
標準正交基303
施密特正交化方法303
正交矩陣304
正交矩陣的性質304本章 知識點及其關聯網路306
第16章 線性方程組307
16.1 齊次線性方程組307
齊次線性方程組有解的
判別308
齊次線性方程組解的
性質308
齊次線性方程組的基礎
解系308
齊次線性方程組解的
結構308
齊次線性方程組的求解（利
用矩陣的初等變換）
步驟30816.2 非齊次線性方程組309
非齊次線性方程組有解的
判別310
非齊次線性方程組解的
性質310
非齊次線性方程組解的
結構311
解n元非齊次線性方程組的
步驟311本章 知識點及其關聯網路312
第17章 特徵值特徵向量313
17.1 特徵值、特徵向量及其性質313
方陣的特徵值、特徵向量313
特徵值、特徵向量的求法314
特徵值、特徵向量的性質31417.2 相似矩陣315
相似矩陣315
相似矩陣的性質31617.3 矩陣可對角化的條件317
17.4 實對稱矩陣的對角化317
本章 知識點及其關聯網路319
第18章 二次型及其標準形320
18.1 二次型的矩陣表示，契約矩陣320
二次型320
二次型的矩陣320
契約矩陣321
契約矩陣的性質32118.2 線性變換化二次型為標準形323
配方法323
正交變換法323
用正交變換法化二次型為標
準形的步驟324
慣性定理32418.3 正定二次型、正定矩陣325
正定二次型、正定矩陣325
正定二次型、正定矩陣的
判別325
負定二次型負定矩陣的
判別326
半正定二次型、半正定
矩陣的判別327本章 知識點及其關聯網路328
第19章 隨機事件與機率329
19.1 隨機試驗329
隨機現象329
隨機試驗32919.2 樣本空間、隨機事件329
樣本空間與樣本點329
隨機事件330
事件的關係和運算330
事件的運算算律33119.3 頻率與機率332
頻率332
機率的統計定義333
機率的公理化定義333
機率的性質33419.4 等可能概型（古典機率）335
古典概型335
古典機率的計算公式335
古典機率的性質335
幾何機率33619.5 條件機率337
條件機率定義337
條件機率的性質337
乘法公式337
劃分（完備事件組）338
全機率公式338
貝葉斯公式（Bayes）（逆全
機率公式）33819.6 獨立性339
兩事件的獨立性339
三事件的獨立性339
n個事件的相互獨立性340本章 知識點及其關聯網路341
第20章 隨機變數及其分布342
20.1 隨機變數342
20.2 離散型隨機變數及其分布律342
離散型隨機變數342
分布律342
常見的離散型分布34320.3 隨機變數的分布函式344
分布函式的定義344
分布函式的性質34420.4 連續型隨機變數及其機率密度345
連續型隨機變數345
連續型隨機變數的性質345
常見的連續型分布34520.5 隨機變數函式的分布350
離散型隨機變數函式的
分布350
連續型隨機變數函式的
分布350本章 知識點及其關聯網路352
第21章 多維隨機變數353
21.1 二維隨機變數353
二維隨機變數定義353
聯合分布函式353
二維離散型隨機變數354
二維連續型隨機變數35521.2 邊緣分布356
邊緣分布函式356
邊緣分布律356
邊緣機率密度35721.3 條件分布357
條件分布律357
條件機率密度35721.4 相互獨立的隨機變數358
二維隨機變數相互獨立的
定義358
隨機變數相互獨立的判別
方法358
二維均勻分布359
二維常態分配36021.5 兩個隨機變數的函式的分布361
Z=X+Y的分布(兩個隨機
變數和的分布)361
M=max{X，Y}及N=
min{X，Y}的分布(兩個隨機
變數的最大最小分布)362本章 知識點及其關聯網路364
第22章 隨機變數的數字特徵365
22.1 數學期望（簡稱均值）365
離散型隨機變數的數學
期望365
連續型隨機變數的數學
期望365
隨機變數函式的數學
期望366
數學期望的性質36722.2 方差368
方差的定義368
方差計算公式368
方差的性質368
常見隨機變數的期望和
方差36822.3 協方差及相關係數369
協方差定義369
協方差的性質369
相關係數370
相關係數性質370
不相關37022.4 矩371
k階矩371
k階中心矩371
混合矩371
混合中心矩371本章 知識點及其關聯網路372
第23章 大數定律與中心極限定理373
23.1 大數定律373
切比雪夫不等式373
大數定律37323.2 中心極限定理374
獨立同分布的中心極限
定理374
棣莫弗?拉普拉斯定理375
本章 知識點及其關聯網路377
第24章 樣本及抽樣分布378
24.1 隨機樣本378
總體378
樣本378
樣本的分布37824.2 抽樣分布379
統計量379
常用統計量379
χ2分布(卡方分布)380
t分布382
F分布383
正態總體的樣本均值的
分布385
正態總體的樣本方差的
分布385
正態總體的樣本均值與樣本
方差關係的分布385
兩正態總體的樣本均值差和
方差比的分布386本章 知識點及其關聯網路387
第25章 參數估計388
25.1 點估計388
點估計的定義388
矩估計法388
最大似然估計法389
25.2 估計量的評選標準392
無偏性392
有效性392
相合性(一致性)392
25.3 區間估計393
置信區間393
尋求置信區間的方法393
25.4 正態總體均值與方差的區間估計394
單個正態總體均值的區間
估計394
單個正態總體方差的區間
估計395
兩個正態總體均值差的
置信區間395
兩個正態總體方差比的
置信區間39625.5 （0?1）分布參數的區間估計396
25.6 單側置信區間397
本章 知識點及其關聯網路398
第26章 假設檢驗399
26.1 假設檢驗399
假設檢驗399
假設檢驗的基本思想399
顯著性假設檢驗400
假設檢驗的步驟400
26.2 正態總體均值的假設檢驗401
單個正態總體均值的假設檢驗401
兩個正態總體均值差異的顯著性檢驗402
26.3 正態總體方差的假設檢驗403
單個正態總體方差的假設檢驗403
兩個正態總體方差的齊性
檢驗(F檢驗法)404本章 知識點及其關聯網路405
附表406
附表1標準常態分配表406
附表2泊松分布表408
附表3t分布表411
附表4χ2分布表414
附表5F分布表419
