概周期函式

概周期函式又稱殆周期函式，周期函式的一種推廣，具有某種近似周期性的有界連續函式。概周期函式是在研究周期函式某種性質的基礎上進一步提出來的。三角多項式以及三角多項式序列的極限都是周期函式。而三角和序列的極限卻未必是周期函式。但這類極限函式的特徵可以用某種近似周期性來刻畫。

基本介紹

• 中文名：概周期函式
• 外文名：almost periodic function
• 又稱：殆周期函式
• 具有：某種近似周期性的有界連續函式
• 特徵：可以用某種近似周期性來刻畫
• 套用學科：數學

含義

在數學中，概周期函式（或殆周期函式）是一類有近似於周期性質的函式，是連續周期函式的推廣。不同的周期函式由於周期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是周期函式。概周期函式儘管未必有嚴格的周期性，但可擁有一些比周期函式更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進，後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概周期函式方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎。

定義

概周期函式有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義，一個定義域在實數域上的連續函式f如果滿足：對任意正實數 ，都存在實數 ，使得任意長度為 的區間裡至少存在一個數 t，使得對於任意的 ，都有：

在高維歐幾里得空間中，也可以定義類似的概周期向量函式。

按照定義，所有周期函式都是概周期函式。

值域在複平面上的概周期函式與三角多項式函式有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函式是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函式：ζ(s) 截出有限項後，得到的是一些形如

的項。其中的 。如果只考慮複平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s的實數部分 ，而實數t 在正負無窮大之間變動），那么實際上每一項變成：

如果只觀察有限個這樣的函式的和（以避免 時的解析開拓的問題），那么由於對不同的n， 是線性獨立的，這個和不再是一個周期函式。

在相關研究中，哈那德·玻爾開始注意形如：

的三角多項式函式。它是若干個周期互不相同的周期函式 的和。於是概周期函式的另一個定義出現了：如果對每個 ，都存在三角多項式函式： ，使得對於任意的 ，都有：

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

例子

考慮若干三角多項式函式：

其中 是複數。每一個 都是周期函式，因此有限個 的和仍然是概周期函式。然而，對於某些和函式，比如說：

f不是周期函式，但仍然是概周期函式。

性質

如同周期函式一樣，任何概周期函式都是有界的, 且一致連續。

如果f 是概周期函式，那么對於任意實數a，f(x+a)、 f(ax)、af(x)、 |f(x)|也是概周期函式。

如果 f 和g 都是概周期函式，那么f+g、f-g和 都是概周期函式。

如果f(x) 是概周期函式，H是f 的值域到R上的一致連續函式，則 H(f(x))也是概周期函式。

如果概周期函式的序列 在實軸上一致收斂於函式f(x) ，則f(x) 也是概周期函式。

如果f(x) 是概周期函式，則f'(x)為概周期函式的充分必要條件是f(x) 的導函式f'(x) 一致連續。

如果f(x) 是概周期函式， ，則F(x)為概周期函式的充要條件為F(x)有界。

參看

• 偽概周期函式
  
• 準周期函式
  
• 非周期函式
  
• 傅立葉級數
  
• 計算機音樂