三角多項式

在數學中，三角多項式是一類基於三角函式的函式的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函式sin(nx) 和餘弦函式cos(nx) 的和的函式，其中的x 是變數，而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話，那么這個三角多項式是一個傅立葉級數。

三角多項式在許多數學分支，如數學分析和數值分析中都有套用，例如在傅立葉分析中，三角多項式被用於傅立葉級數的表示，在三角插值法中，三角多項式被用於逼近周期性函式。

基本介紹

• 中文名：三角多項式
• 外文名：trigonometric polynomial
• 基礎：三角函式
• 屬於：函式的總稱
• 數學分支：數學分析和數值分析
• 分類：數學

簡介

在數學中，三角多項式是一類基於三角函式的函式的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函式sin(nx) 和餘弦函式cos(nx) 的和的函式，其中的x 是變數，而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話，那么這個三角多項式是一個傅立葉級數。

三角多項式在許多數學分支，如數學分析和數值分析中都有套用，例如在傅立葉分析中，三角多項式被用於傅立葉級數的表示，在三角插值法中，三角多項式被用於逼近周期性函式。

定義

形如

的多項式，式中係數，為任意給定的實數，不全為零。稱為此三角多項式的階數。任何一個三角多項式都是周期的周期函式，因此對於三角多項式的研究往往只要在長為的半開區間中進行。任何兩個三角多項式的和、差、積仍然是個三角多項式，而且,若與分別為階與階三角多項式，且，則是個階不超過的三角多項式，是階為的三角多項式。利用歐拉公式

其中，

任意一個階三角多項式都可寫成：

式中

公式

階三角多項式在任一長為的半開區間中，最多只有個零點。因此,若兩個階三角多項式在長為的半開區間中有個點處取值相同，則此兩個三角多項式完全相同。

對於階三角多項式，記

公式

常稱為Tn的Lp範數，若1≤p≤p┡≤∞，則

此外還有如下的尼科利斯基不等式

特別有

伯恩斯坦不等式

設Tn(x)是n階三角多項式,Tń(x)是它的導數，則有不等式

這是1912年С.Η.伯恩斯坦發現的，稱為伯恩斯坦不等式。其中係數n不能再減小，例如對任何常數A及α，Tn(x)=A sin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函式逼近論中起著重要的作用,並且有著各種拓廣。例如,С.Б.斯捷奇金於1948年證明,對任何n階三角多項式Tn(x)及自然數k，都有

共軛三角多項式

對給定的n階三角多項式Tn(x)，記

稱為Tn(x)的共軛三角多項式。對於共軛三角多項式的導數有不等式

這裡係數n也是不能減小的。

應該指出,對於復係數三角多項式Tn(x)（即諸係數αk,bk為複數），同樣有

於是，對於自然數k，有

套用

自然,三角多項式是一類簡單的周期函式,但是，它是近似表示一般的周期函式的有效工具，隨著三角多項式的階的增高，任何連續的周期函式都可以藉助於三角多項逼近到預先給定的程度。反之如果已知這種逼近程度的收斂於零的速度，也就有可能推出被逼近函式的構造性質,這個事實本身是有著深刻的物理意義的,周期運動的分解便是一個明顯的例證。三角多項式是在其他數學、物理、力學等領域中有著廣泛的套用。