伯恩斯坦型定理

伯恩斯坦型定理即三角多項式逼近的逆定理，是由最佳逼近值收斂於零的速度刻畫函式的性質的定理。

基本介紹

• 中文名：伯恩斯坦型定理
• 外文名：Bernstein-type theorem 
• 適用範圍：數理科學

簡介

伯恩斯坦型定理即三角多項式逼近的逆定理，是由最佳逼近值收斂於零的速度刻畫函式的性質的定理。

起源

設,k為正整數，則函式 f 的k 階光滑模適合如下不等式

其中 僅與k 有關，若存在正整數 r ，使得

則函式f 有r階連續導數，並且存在僅與r有關的，使得對 n≥0，有

具體內容

上述結論是斯捷奇金於1951年建立的，其特殊情況，r≥0是整數，0<a<1，由

推不出 f^(r)∈Lipα。這是由伯恩斯坦首先建立的，所以亦常稱逆定理為伯恩斯坦型定理。

特殊情況

上述定理在α=1時是不成立的，亦即從

推不出f∈Lip 1。

1945 年，贊格蒙證明此時有f∈Z，即存在 M>0，使對任一h，

反之也成立，於是的充分必要條件是，即 f 是亞光滑的。

不僅如此，還有 的充分必要條件是，即 f 是光滑的。