極大子群

概念

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H，且G與H之間無G的其他真子群。若H是群G的真子群，並且，對於G的真子群K，由H≤K得出K=H，則稱H是G的極大子群。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

如果群G的非空子集合H對於G的運算也成一個群，那么H稱為G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為H_{i|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi}的交H_i是G的一個子群。

極小子群是一種重要的子群。極大子群的對偶概念。指在包含的意義下，群的最小的非平凡真子群。它是群G的真子群K，且K除了單位元群{e}為真子群以外無其他真子群。若K是群G的真子群，K≠{e}，並且，對於G的真子群H，由H≤K得出H={e}或H=K，則稱K是G的極小子群。

循環群的任一直積是有限交換群。反之，任一有限交換群必具有這種形式.特別，其階為素數的所有有限群皆是循環群。

任一有限群(不一定是交換的)同構於一有限集的置換群的一個子群。人們還沒有弄清楚有限群的分類。

非交換的有限群之研究基本上停留在p-群的概念上。這是指其階為一個素數p的冪的有限群。有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群；G的所有西羅p-子群都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪。