多重傳遞群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

多重傳遞群(multiply transitive group)是比傳遞群有更強的傳遞性質的置換群

基本介紹

  • 中文名:多重傳遞群
  • 外文名:multiply transitive group
  • 領域:代數
  • 性質:比傳遞群的傳遞性質更強
  • 本質:置換群
  • 4重傳遞群:馬蒂厄群
概念介紹,群,置換群,本原群,四重傳遞群——馬蒂厄群,

概念介紹

多重傳遞群(multiply transitive group)是比傳遞群有更強的傳遞性質的置換群。設k是一個自然數,而G是Ω上的一個置換群,且|Ω|≥k。若對Ω的任意兩個有序k元子集{α1,α2,…,αk}和{β1,β2,…,βk},都可找到一個元素g∈G,使得α11,α22,…,αkk,則稱G在Ω上是k重傳遞的;或簡單地稱,G在Ω上是k傳遞的。由這個定義,1重傳遞群就是通常所稱的傳遞群,2重傳遞群稱為雙傳遞群。一般地,若k≥1,一切k+1重傳遞群都是k重傳遞群。Sn是惟一的n次n重傳遞群,而An是n次的n-2重傳遞群。還可推出:當k≥2時,G在Ω上是k重傳遞的若且唯若G在Ω上是傳遞的並且對任意α∈Ω,穩定子群Gα在Ω\{α}上是k-1重傳遞的。由此可知,若G是Ω上的k重傳遞群而|Ω|=n,則G的階是n(n-1)…(n-k+1)的倍數。若k≥2,則一切k重傳遞群都是本原群。人們常把傳遞置換群分作三類加以研究:即二重和二重以上的傳遞群;非二重傳遞的本原群;非本原群。其中二重以上傳遞(即多重傳遞)群的研究一直是置換群理論的引人注意的課題。其背景是,雖然有大量的2重傳遞群和3重傳遞群,但除去Sn和An外,人們從未發現任何一個6重傳遞群,而4重傳遞群只知道有4個,馬蒂厄群M11,M12,M23,M24,其中M12,M24是5重傳遞的。利用有限單群分類定理,已經決定出全部的2重傳遞群。由此也證實了上述四個馬蒂厄群是An,Sn以外的全部4重傳遞群。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

置換群

由置換組成的群。n元集合Ω={a1,a2,…,an}到它自身的一個一一映射,稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究,拉格朗日魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里,引進了n個根的一些函式進行研究,開創了置換群的子群的研究,得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中,對置換群進行了詳細的考察,引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下,柯西發表了關於置換群的重要文章(1815年)。他以方程論為背景,證明了不存在n個字母(n次)的群,使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數,除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻,他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念,發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間,寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化,證明了伽羅瓦的斷言:每個有限(置換)群,如果它的階可被一個素數p除盡,就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值),並找出一個函式,使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中,他本人還發展了置換群理論及其套用。

本原群

本原群是傳遞置換群的一個子類。集合Ω上的傳遞置換群G,若沒有非平凡完全區系,則稱G為Ω上的本原群。否則,即G具有非平凡完全區系,就稱G為非本原群。例如,Ω={1,2,3,4,5,6}而G由元素g生成,其中g=(1,2,3,4,5,6),那么{1,4},{2,5},{3,6}是G的一個非平凡的完全區系,同樣{1,3,5},{2,4,6}也是G的非平凡的完全區系。因此G是非本原群。由這個例子還可以看出,在G為非本原群時,G可能有不止一個非平凡的完全區系.G在Ω上是本原的若且唯若對Ω中的任何兩個不同的點α,β和Ω的任一非空真子集Δ,都有G中一個元素g,使α∈Δ而βΔ.G在Ω上是本原群的另一個充分必要條件是,對任何α∈Ω,Gα是G的極大子群。關於本原群的研究是置換群論的最重要的內容。其中值得一提的工作是人們已經給出了次數≤50的全部本原群的一覽表,又藉助於有限單群分類定理,決定了全部素數p次置換群、雙傳遞群、秩3本原群,以及某種類型的奇數次本原群。

四重傳遞群——馬蒂厄群

馬蒂厄群是特殊的多重傳遞群。法國數學家馬蒂厄(Mathieu,É.L.)發現的5個多重傳遞群。它們的次數分別為11,12,22,23,24.後人把這5個群稱為馬蒂厄群,並且用M11,M12,M22,M23,M24來表示。馬蒂厄群的最直接的定義方法是舉出集合Ω和SΩ內的若干特別的元素而規定馬蒂厄群是這些元素生成的群。例如,取Ω={1,2,…,12},記:
a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11),b=(5,6,4,10)(11,8,3,7),c=(1,12)(2,11)(3,6)(4,8)(5,9)(7,10)。
規定:M11=〈a,b〉,M12=〈a,b,c〉。又取Ω={1,2,…,24},記:
d=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23),
e=(3,17,10,7,9)(5,4,13,14,19)·(11,12,23,8,18)(21,16,15,20,22),
f=(1,24)(2,23)(3,12)(4,16)(5,18)·(6,10)(7,20)(8,14)(9,21)·(11,17)(13,22)(19,15),
規定M23=〈d,e〉,M24=〈d,e,f〉。而記:
g=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)·(12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22),
h=(1,4,5,9,3)(2,8,10,7,6)·(12,15,16,20,14)(13,19,21,18,17),
j=(11,22)(1,21)(2,10,8,6)(12,14,16,20)·(4,17,3,13)(5,19,9,18).
規定M22=〈g,h,j〉。馬蒂厄群的階分別為:
|M11|=7920, |M12|=95040,
|M22|=443520, |M23|=10200960,
|M24|=244823040,
其中M11可視為M12的一個點的穩定子群;M22,M23可分別視為M24的兩個點的和一個點的穩定子群
馬蒂厄群的特別重要的性質是:1.它們都是單群,是最早發現的散在單群。2.除M22外,其餘4個馬蒂厄群都是4重傳遞群,其中M12和M24還是5重傳遞的,而且M11,M12分別為精確4重傳遞和精確5重傳遞群。馬蒂厄群與組合設計有密切的關係,存在施泰納3元系S(4,5,11),S(5,6,12),S(4,7,23),S(5,8,24),使M11,M12,M23,M24為它們的自同構群。同時存在一個施泰納3元系S(3,6,22),使M22是它的自同構群的指數為2的正規子群。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們