基本介紹
- 中文名：格序群
- 外文名：lattice-ordered group
- 領域：數學
- 別名：格群或I群
- 性質：分配格
- 定義：一種具有格序關係的群
格的概念,群的概念,格序群的概念,格序群上的C-拓撲,
格的概念
“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。
例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。
格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。
格h格 設(L，£)是一個偏序集，如果對於"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a,b})和一個最小上界(記為sup{a,b}),則稱(L，£)是一個偏序格.
子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。
h代數格 在L定義二元運算*和·，滿足：對"a,b,cÎL,有
(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a
(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)
(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a
則稱(L，*，·)是代數格.
用代數的語言，格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。
群的概念
1. 封閉性：即G的任意兩個元素在
下的運算結果都是該集合的一個元素。（
，
）。
4. 逆元：
，
，使得
，
稱為
的逆元，記為
。（逆元具有唯一性，即：由
可以推出
）
則
稱為一個群，或乘法群。
有時由於上下文的原因，群上的二元運算亦可稱為加法，此時該運算通常記為
，群元素的運算也被記為如同
的形式，而群也可被稱為加法群。此種情況下，往往加法還有可交換的性質。
格序群的概念
a+(x∨y)+b=(a+x+b)∨(a+y+b)，
a+(x∧y)+b=(a+x+b)∧(a+y+b).
除去平凡的格群外 ，沒有有限格群。
格序群上的C-拓撲
格序群A是一個偏序Abel群使得對於任意元素x, y ∈ A，存在上確界sup(x, y)和下確界inf(x, y)。一個格序群被稱作是Archimedean，如果其中沒有非平凡的有界格子群。例如，令X為任意拓撲空間，C(X)為所有從X到賦予通常拓撲結構的實數拓撲空間 R 的全體連續函式組成的加法群，則C(X)在逐點序之下為一個Archimedean格序群。事實上，格序群的源泉可追溯到當Dedekind在研究Fermat大定理時發展的算術理論。此後，從Hilbert的幾何基礎開始，到他的積分方程理論直至拓撲向量空間中的運算元理論，格序群理論逐漸出現在不同的數學領域。例如，以Riesz空間命名的格序實向量空間理論在泛函分析中也是很重要的。
令A為一個格序群。A的範數N定義為：對於任意x ∈ A，N(x) =sup(x, −x)。設a ∈ A,則a的正部是a+= sup(a, 0), a的負部是a−= sup(−a,0)。易驗證：
設A為一個2-可除的格序群，A的一個由某些嚴格正元組成的濾子C叫作A的一個容許子集，如果x ∈ C 蘊涵x/2 ∈ C對於一個容許子集C ⊆ A，我們說A是C -Archimedean。如果對C中所有的元素x, y,存在自然數n使得ny > x。格序群A叫作是一個C-群。如果A是2-可除的且是C-Archimedean.若A是一個2-可除並帶有一個容許子集C的格序群.以r ∈ C 為半徑,以x0∈ A 為中心的開C-球是集合：
