李導數

定義

設𝖃M為光滑流形M上的向量場的集，X∈𝖃M有流Φ_t。則向量場Y對X於點p的李導數為

(𝓛_XY)_p=lim_t→0(Φ_-t*Y_Φt(p)-Y_p)/t。

即(𝓛_XY)_p=c'(0)，其中c為T_pM上的曲線，定義為c(t)=Φ_-t*Y_Φt(p)。

設ω為光滑流形M上的微分k形式，X為有流Φ_t的向量場，則ω對X的李導數定義為

(𝓛_Xω)(p)=lim_t→0(Φ_tω-ω)(p)/t，p∈M。

𝓛_Xf=Xf，f∈A₀(M)；

𝓛_X(ω₁⋀...⋀ω_k)=∑_iω₁⋀...⋀𝓛_Xω_i⋀...⋀ω_k，ω_i為1形式。

在A(M)上有𝓛_X∘d=d∘𝓛_X。

定義X的內乘法i(X):A_k(M)→A_k-1(M)為

(i(X)ω)(X₁,...,X_k):=ω(X,X₁,...,X_k)，ω∈A_k(M)，X_i∈𝖃M。

則𝓛_X=i(X)∘d+d∘i(X)。

李導數（Lie derivative）是一種對流形M上的張量場，向量場或函式沿著某個向量場的求導運算，以索甫斯·李命名。所有李導數組成的向量空間對應於如下的李括弧構成一個無限維李代數。

李導數用向量場表示，這些向量場可看作M上的流的無窮小生成元。從另一角度看，M上的微分同胚組成的群，有其對應的李導數的李代數結構，在某種意義上和李群理論直接相關。

李導數有幾種等價的定義。在本節，為簡便起見，我們用標量場和向量場的李導數的定義開始。

李導數的定義可以從函式的微分開始。這樣，給定一個函式f:M→ℝ和一個M上的向量場X，f在點p∈M的李導數定義為

其中df是f的微分。也就是，df:M→T*M是由下式給出的[1-形式]：

這裡，dx是餘切叢T*M的基向量。這樣，記號

表示取f（在M中的點p）的微分和向量場X（在點p）的內積。

或者，可以先表明M上的光滑向量場X定義了一個M上的單參數曲線族。也就是，可以表明存在曲線在M上使得

其中

對於所有M中的點p成立。這個一階常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理給出（更一般的，這種曲線的存在性是弗羅貝尼烏斯定理給出）。然後可以定義李導數為

第三個可能的定義可以通過先定義一對向量場的李括弧給出。首先注意到切空間的基向量可以寫為

，所以一個向量場，用一組選定的基向量可以表示為

定義李括弧為

然後定義向量場Y的李導數等於X和Y的李導數，也就是，𝓛_XY=[X,Y]。