有理函式積分法

有理函式積分法是按一定步驟求有理函式不定積分的方法，求有理函式的積分時，先將有理式分解為多項式與部分分式之和，再對所得到的分解式逐項積分。有理函式的原函式必是有理函式、對數函式與反正切函式的有理組合。

基本介紹

• 中文名：有理函式積分法
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：數學分析（微積分）
• 簡介：求有理函式不定積分的方法

基本介紹

有理函式是指由兩個多項式函式的商所表示的函式，其一般形式為

其中n,m為非負整數，與都是常數，且。

若m>n，則稱它為真分式；若m≤n，則稱它為假分式。由多項式的除法可知，假分式總能化為一個多項式與一個真分式之和。由於多項式的不定積分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定積分，故設(1)為一有理真分式。

根據代數知識，有理真分式必定可以表示成若干個部分分式之和(稱為部分分式分解)，因而問題歸結為求那些部分分式的不定積分。

有理函式積分法的具體介紹

設需要求

其中P，Q都是多項式，如果Q的次數大於或等於P的次數，則先用除法分出商多項式R，設多項式P(x)在R上已分解為既約多項式之積：，p₁(x)，p₂(x)，…，p_k(x)為一次或二次多項式，則有：

=

+ +…

+ ，

q_ij(i=1，2，…，k，j=1，2，…，m_k)是次數比p_i的次數低的多項式。對上式積分，右邊出現三類積分：多項式的積分；形如

其中(a，A，k∈R)的積分；和形如

的積分。對第三類積分，改寫Bx+C=(2x+p)·(B/2)+(C-pB/2)，

將它分解為兩個積分

其中，第一個積分已可求出，對第二個積分，如m=1，則易於求出;如m>1，用分部積分法，得

如m-1>1，則可再利用此公式，逐次遞推，最後便可求出積分。