牛頓法

牛頓法最初由艾薩克·牛頓於1736年在 Method of Fluxions 中公開提出。而事實上方法此時已經由Joseph Raphson於1690年在Analysis Aequationum中提出，與牛頓法相關的章節《流數法》在更早的1671年已經完成了。

牛頓法（英語：Newton's method）又稱為牛頓-拉弗森方法（英語：Newton-Raphson method），它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函式f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(y)=0的根。

基本介紹

• 中文名：牛頓法
• 外文名：Newton's method
• 提出者：艾薩克·牛頓
• 提出時間：1736年
• 出自：Method of Fluxions 
• 又稱：牛頓-拉弗森方法
• 套用學科：數學

起源

牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛頓去世後的1736年公開發表）中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

原理

把非線性函式在處展開成泰勒級數

取其線性部分，作為非線性方程的近似方程，則有

牛頓法

藍色代表方程，紅色代表切線。

設 ，則其解為

因為這是利用泰勒公式的一階展開， 處並不是完全相等，而是近似相等，這裡求得的 並不能讓 ，只能說 的值比 更接近 ，於是乎，疊代求解的想法就很自然了，

再把f(x)在x1 處展開為泰勒級數，取其線性部分為 的近似方程，若 ，則得 如此繼續下去，得到牛頓法的疊代公式： ，通過疊代，這個式子必然在 的時候收斂。整個過程如右圖：

例1 用牛頓法求方程 在 內一個實根，取初始近似值=1.5。 解 所以疊代公式為：

搜尋方向較近似於牛頓法

列表計算如下：

0	1.5
1	1.7371
2	1.6987
3	1.6975
...	...

切線法

方程f(x)=0的根就是曲線y=f(x)與x軸交點的橫坐標x*，當初始近似值x₀選取後，過( x₀,f(x₀))作切線，其切線方程為：y- f(x₀)=f′(x₀)(x-x₀)

一般地，設Xn是x*的第n次近似值，過( x,f(x))作y=f(x)的切線，其切線與x軸交點的橫坐標為： 即用切線與x軸交點的橫坐標近似代表曲線與x軸交點的橫坐標。

牛頓法正因為有此明顯的幾何意義，所以也叫切線法。

定理

設f(x)在[a,b]滿足

(1) f(a)·f(b)<0

(2) f(x)∈[a,b]，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)與f″( x)的符號均保持不變。

(3) f(x)·f″(x)>0, x∈[a,b] 則方程f(x)=0在[a,b]上有且只有一個實根，由牛頓法疊代公式計算得到的近似解序列收斂於方程 f(x)=0 的根 x*。

由方程f(x)=0得到的牛頓疊代形式：

由於f(x*)=0，所以當f′(x*)≠0時， (x* )= 0，牛頓法至少是二階收斂的，即牛頓法在單根附近至少是二階收斂的，在重根附近是線性收斂的。

牛頓法收斂很快，而且可求復根，缺點是對重根收斂較慢，要求函式的一階導數存在。

其它例子

第一個例子

求方程的根。令，兩邊求導，得。由於，則，即，可知方程的根位於0和1之間。我們從開始。

第二個例子

牛頓法亦可發揮與泰勒展開式，對於函式展開的功能。

求a的m次方根。

設

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛頓法來疊代：

（或 ）

套用

求解最值問題

牛頓法也被用於求函式的最值。由於函式取最值的點處的導數值為零，故可用牛頓法求導函式的零點，其疊代式為