基本介紹
歷史,定義,一般定義,幾何意義,性質,導數與微分,可導的條件,例子,
歷史
導數和積分的發現是微積分發明的關鍵一步。十七世紀以來，光學透鏡的設計以及炮彈彈道軌跡的計算促使歐洲的數學家對曲線的切線進行研究。1630年代，法國數學家吉爾·德·羅伯瓦爾作出了最初的嘗試。與此同時，同是法國人的費馬在計算切線時已經使用了無窮小量的概念。
英國的巴羅、荷蘭的於德（Johnann Van Waveren Hudde）和瓦隆的斯盧茲（René Francoiss Walther de Sluze）繼續了費馬的工作。然而，費馬和巴羅等人並沒有將求導歸納為一種獨立的工具，只是給出了具體的計算技巧。
十七世紀六十年代，英國人伊薩克·牛頓提出了“流數”的概念。牛頓在寫於1671年的《流數法與無窮級數》中對流數的解釋是：“我把時間看作是連續的流動或增長，而其他的量則隨著時間而連續增長。我從時間流動性出發，把所有其他量的增長速度稱為流數。”也就是說，流數就是導數。牛頓將無窮小的時間間隔定義為“瞬間”（moment），而一個量的增量則是流數與瞬間的乘積。求導數時，牛頓將自變數和因變數兩邊展開，同時除以瞬間，再將剩下的項中含有瞬間的項忽略掉。而在他的第三篇微積分論文中，牛頓使用了新的概念：最初比和最後比。他說：隨我們的意願，流數可以任意地接近於在儘可能小的等間隔時段中產生的增量，精確地說，它們是最初增量的最初的比，它們也能用和它們成比例的任何線段來表示。
相比於牛頓，德國數學家萊布尼茲使用了更清晰的記號來描述導數。他利用了巴羅的“微分三角形”概念，將自變數和因變數的增量記為dx和 dy。他把dx理解為“比任何給定的長度都要小”，而dy則是 x 移動時y“瞬刻的增長”。而導數則是兩者之間的比例。他還研究了函式之和、差、積、商的求導法則。
微積分的理論面世後，遭到了有關無窮小量定義的攻擊與質疑。導數的定義自然也包括在內。萊布尼茲和牛頓對無窮小量的認識都是模糊的。不僅如此，萊布尼茲甚至引入(d)x 和 (d)y，稱其為“未消失的量”，用以進行求導前部的計算。在完成計算後再用“消失的量”dx 和dy來代替它們，並假定前兩者之比等於後兩者之比，認為這是一個不容置疑的真理。
十九世紀後，隨著對函式連續性和極限的更深刻認識，微積分終於趨於嚴謹。波爾查諾是首先將導數定義為函式值的改變數與自變數增量之比在自變數增量無限接近0時趨向的量。波爾查諾強調導數不是0與0之比，而是前面的比值趨向的數。柯西在他的著作《無窮小分析教程概論》中也使用了同樣的定義，並定義dy為導數與 dx的乘積。這樣，導數和微分的概念得到了統一。
定義
一般定義
設有定義域和取值都在實數域中的函式y=f(x)。若f(x) 在點
的某個鄰域內有定義，則當自變數x在x0處取得增量
（點
仍在該鄰域內）時，相應地y取得增量
；如果
與
之比當
時的極限存在，則稱函式y=f(x) 在點
處可導，並稱這個極限為函式 y=f(x)在點
處的導數，記為
，即：
幾何意義
當函式定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函式的曲線上的切線斜率。如右圖所示，設P0為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向於點P0時，並且割線PP0的極限位置P0T存在，則稱P0T為曲線在P0處的切線。
若曲線為一函式y=f(x)的圖像，那么割線PP0的斜率為：
當P0處的切線P0T，即PP0的極限位置存在時，此時
，則P0T的斜率
為：
圖1.幾何意義性質
單調性
一階導數表示的是函式的變化率，最直觀的表現就在於函式的單調性定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)內具有一階導數，那么：
圖2.單調性
圖2.單調性（1）若在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞增；
（2）若在(a,b)內f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞減；
（3）若在(a,b)內f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）於x軸的直線，即在[a,b]上為常數。
在右圖可以直觀的看出：函式的導數就是一點上的切線的斜率。當函式單調遞增時，斜率為正，函式單調遞減時，斜率為負。
導數與微分
微分也是一種線性描述函式在一點附近變化的方式。微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函式來說，可微與可導是完全等價的。可微的函式，其微分等於導數乘以自變數的微分dx，換句話說，函式的微分與自變數的微分之商等於該函式的導數。因此，導數也叫做微商。函式y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。
