《數值泛函及其套用》是2021年科學出版社出版的圖書，作者是張維強，馮紀強，宋國鄉。
基本介紹
- 中文名：數值泛函及其套用
- 作者：張維強、馮紀強、宋國鄉
- 出版社：科學出版社
- ISBN：9787030683182
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書用通俗淺顯的語言介紹了泛函分析中與工程計算、數值逼近有密切關係的基本理論和有關重要定理及公式，如距離空間中的壓縮映像原理與疊代法；Banach空間中的線性泛函與線性逼近；Hilbert空間中的正交分解、投影與逼近；Fourier分析與快速Fourier變換；泛函求極值的變分理論，有限元的變分原理及計算方法，小波理論及Mallat算法等。《BR》 書中另一重要內容副博在上述數值泛函的框架下，將變分理論、Fourier分析、有限元分析、小波分析等套用於工程計算所取得的科研成果。
圖書目錄
《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章 預備知識 1
1.1 泛函分析初識 1
1.2 集合、元素 1
1.3 空間與映射 2
1.4 幾個基礎的拓撲概念 3
1.5 坐標與空間 4
第2章 距離空間與壓縮映像原理 5
2.1 距離空間 5
2.1.1 定義和例 5
2.1.2 收斂概念和完備性 7
2.1.3 距離空間上的映射 12
2.2 壓縮映像原理及套用 13
2.2.1 定義和例 14
2.2.2 壓縮映像原理 14
2.3 壓縮映像原理與疊代法 16
2.3.1 壓縮運算元與疊代法 16
2.3.2 壓縮運算元的判定 18
2.3.3 兩種常用的疊代法 21
2.4 壓縮映像原理在微分方程中的套用 26
2.5 壓縮映像原理在積分方程中的套用 28
第3章 Banach 空間及線性逼近 33
3.1 定義和實例 33
3.1.1 線性空間的定義 33
3.1.2 賦范線性空間的定義 33
3.1.3 例 34
3.1.4 Banach 空間 35
3.2 按範數收斂 35
3.2.1 定義 36
3.2.2 性質 36
3.3 線性運算元和線性泛函 37
3.3.1 運算元 37
3.3.2 線性泛函 40
3.4 Banach 空間中的各種收斂 42
3.4.1 元素序列的收斂性 42
3.4.2 運算元序列的收斂性 43
3.4.3 泛函序列的收斂性 43
3.4.4 幾個結論 44
3.5 Banach 空間中的線性逼近 44
3.5.1 線性無關和線性表示 44
3.5.2 Banach 空間中的線性逼近 45
第4章 Hilbert 空間及投影逼近 48
4.1 定義和例 48
4.1.1 內積空間的定義 48
4.1.2 內積的性質 49
4.1.3 Hilbert 空間 51
4.1.4 例 51
4.2 正交分解與投影定理 52
4.2.1 正交的概念與正交分解 52
4.2.2 投影定理 53
4.3 H 空間中的廣義 Fourier 分析 53
4.3.1 正交系、規範正交系 54
4.3.2 H 空間中的廣義 Fourier 級數 55
4.4 函式空間中的逼近 57
4.4.1 函式空間中的投影定理 58
4.4.2 函式逼近的算例 59
4.5 各種數值逼近的泛函背景 67
4.5.1 坐標、空間與量化 67
4.5.2 轉化與逼近 68
4.5.3 基的選取和構造 69
4.5.4 常用的子空間 70
第5章 Fourier 分析及其套用 72
5.1 三角基的正交性 72
5.2 Fourier 級數和 Fourier 積分 73
5.2.1 Fourier 級數 73
5.2.2 Fourier 積分 75
5.3 Fourier 變換和非周期函式的頻譜 78
5.3.1 Fourier 變換 78
5.3.2 非周期函式的頻譜 78
5.4 離散 Fourier 變換和快速 Fourier 變換 84
5.4.1 離散 Fourier 變換 84
5.4.2 快速 Fourier 變換 85
5.5 套用算例 86
5.5.1 信號頻率確定 86
5.5.2 ECG 信號去噪 87
第6章 變分理論及其套用 90
6.1 變分問題簡介 90
6.2 變分原理 92
6.3 變分直接法 95
6.3.1 泛函的極小化序列 95
6.3.2 Ritz 法 95
6.3.3 Galerkin 法 98
6.3.4 基函式的選取 99
6.4 變分法的革新和前景 101
6.4.1 變分與有限元 101
6.4.2 變分 PDE 與圖像處理 102
6.5 TV 變分模型的改進及套用 102
6.5.1 TV 變分模型在圖像恢復中的研究現狀 103
6.5.2 基於 TV 和各向異性擴散方程的圖像恢復模型 104
6.5.3 “純粹的”各向異性擴散方程 104
6.5.4 新模型的提出 105
6.5.5 新模型的離散格式 106
6.5.6 套用仿真 107
第7章 有限元分析及其套用 109
7.1 有限元法簡介 109
7.1.1 有限元的思想起源和發展 109
7.1.2 有限元的變分原理 109
7.1.3 Galerkin 有限元 110
7.2 有限元基的幾何描述 111
7.3 有限元法的解題步驟 113
7.4 基於拓撲有向圖的有限元方法 119
7.4.1 電磁場與有向圖 119
7.4.2 場的線性化 120
7.4.3 數學模型 122
7.4.4 算例 123
7.5 電機磁場的有限元分析 126
7.5.1 有限元法 126
7.5.2 計算模型 126
7.5.3 有限元解 128
7.5.4 解的討論 134
第8章 小波分析及其套用 136
8.1 小波分析與 Fourier 分析 136
8.2 小波基與多分辨分析 138
8.3 小波級數與小波變換 140
8.3.1 小波級數 140
8.3.2 小波變換 141
8.4 Mallat 算法 143
8.4.1 基本思想 143
8.4.2 Mallat 分解算法 145
8.4.3 Mallat 重構算法 146
8.4.4 Mallat 算法的矩陣形式 146
8.5 小波分析在信號去噪中的套用 147
8.5.1 小波模極大值去噪方法 148
8.5.2 基於小波係數區域相關的閾值濾波方法 150
8.5.3 小波閾值去噪 152
本書參考文獻 159
附錄 A 變分、網路與有限元 162
A.1 古典變分的危機 162
A.2 差分網路法的特點 165
A.3 有限元法的優點 168
A.4 算例 174
參考文獻 178
附錄 B Besov 空間中的變分模型 179
B.1 研究背景 179
B.1.1 Besov 空間的描述 179
B.1.2 變分 PDE 在圖像分解中的研究現狀 180
B.2 一類基於 Besov 空間與負 Hilbert-Sobolev 空間的變分模型 183
B.2.1 主要思想 183
B.2.2 新變分模型的極小化 183
B.2.3 新變分模型的解與小波閾值之間的關係 184
B.2.4 實驗仿真 189
B.3 基於投影的圖像分解變分模型 192
B.3.1 新變分模型的極小化 192
B.3.2 小波閾值與投影之間的關係 196
B.3.3 實驗仿真 199
B.4 一類基於 Besov 空間與齊次 Besov 空間的變分模型 202
B.4.1 (Bs1，1，E) 模型 203
B.4.2 (|u|pBsp，p ， ∥v∥E) 模型 205
B.4.3 (|u|Bsp，p ， ∥v∥E) 模型 207
B.4.4 算法 208
B.4.5 算法的收斂性分析 209
B.4.6 實驗仿真 210
B.5 小結 216
參考文獻 217
附錄 C 基於波原子變換的圖像去噪算法 220
C.1 引言 220
C.2 波原子理論 221
C.2.1 波原子的定義 221
C.2.2 波原子的構造及變換係數 221
C.3 波原子在圖像處理中的套用 224
C.3.1 波原子硬閾值去噪算法 224
C.3.2 仿真實驗與分析 224
C.4 結合全變差小的波原子去噪算法 228
C.4.1 全變差正則化模型 229
C.4.2 結合全變差小的波原子去噪算法 229
C.4.3 仿真實驗與分析 230
C.5 結合循環平移的波原子去噪算法 233
C.5.1 循環平移思想 233
C.5.2 結合循環平移的波原子去噪算法 234
C.5.3 仿真實驗與分析 234
C.6 小結 237
參考文獻 237
《信息與計算科學叢書》已出版書目 239
