對稱雙線性形式

對稱雙線性形式

設σ是向量空間V上的兩線性形式,如果σ(x,y)=σ(y,x),x,y∈V,則稱σ為對稱雙線性形式。

基本介紹

  • 中文名:對稱雙線性形式
  • 外文名:the symmetric bilinear form
  • 所屬學科 :數學(高等幾何)
  • 相關概念:內積空間、雙線性形式等
定義,主要性質,

定義

給出向量空間V上的兩線性形式
如果
稱為對稱雙線性形式
定義了對稱雙線性形式的向量空間
稱為內積空間
稱為
中向量
內積
內積空間
如果
則我們稱:向量
是正交的,記成
的一個子空間,
稱為M在V 中的正交補。
給出V的一組基
雙線性形式
的矩陣表示是
如果
是對稱的,則
對稱矩陣,即
所以

主要性質

命題1
命題2
是內積空間,
的秩
命題3
是非退化的,若且唯若
命題4
引理5
定理6
定理7
是內積空間,
是非退化的,V中的映射
誘導一一映射
它具有以下性質:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
如果M是內積空間
子空間
在M上的限制:
如果
的秩
則M稱為退化子空間。
引理8M是非退化子空間的充要條件是:
推論
是非退化雙線性形式,則:
是非退化子空間
也是非退化子空間。
定理9
內積空間
是非退化子空間,則

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