分圓函式域

分圓函式域是一類重要的代數函式域，是分圓數域的某種推廣。

基本介紹

• 中文名：分圓函式域
• 外文名：cyclotomic function field
• 適用範圍：數理科學

簡介

分圓函式域是一類重要的代數函式域，是分圓數域的某種推廣。

設 為有限域 F_q 上單變元 t 的有理函式域，其代數閉包 k按如下作用形成 上的模：

對 ，定義

式中 是k 弗羅尼烏斯自同構， 特別地， 於是

是 q 次 u 的可分多項式，式中 d 為 M 的次數，

次數為。若 為 的根集，則 稱為 M 分圓函式域。其在 k 上的伽羅瓦群同構於 的單位群。

當 為 d 次首一不可約多項式冪時， 僅在 (P) 和 分歧。類似於克羅內克-韋伯定理，k 的每個在 為順分歧的有限阿貝尓擴張均含於某個分圓函式域的常數域擴張中（順分歧是指分歧指數與 q 互素）。

代數函式域

一個域上的 n(n≥1) 元有理函式域的有限擴張。設 K 是一個在任意域 F 上經添加有限個元素 x₁,…,x_n,x_n+1,…,x_s所生成的域，其中 x₁,…,x_n(n≥1) 在 F 上是代數獨立的；x_n+1,…,x_s關於 F(x₁,…,x_n) 是代數元，則稱 K 是以 F 為係數域的 n 元代數函式域。

當 n=1 時，簡稱 K 為 F 上的代數函式域，記作 K/F 。 K 中所有關於 F 的代數元成一個子域 F┡ ，稱之為 K/F 的常量域。為了方便起見，設 F 本身就是 K/F 的常量域。