圓環函式

圓環函式(ring function or toroidal function)是圓環坐標系下求解拉普拉斯方程時出現的一類特殊函式。拉普拉斯方程是以法國數學家、天文學家P.S.拉普拉斯(Pierre SimonLaplace)命名的偏微分方程。

基本介紹

• 外文名：ring function or toroidal function
• 領域：數學
• 學科：函式
• 方程：拉普拉斯方程
• 對象：連帶勒讓德函式

概念

圓環函式(ring function or toroidal function)是圓環坐標系下求解拉普拉斯方程時出現的一類特殊函式，即微分方程：

的解：

它們是連帶勒讓德函式P_ν(z)和Q_ν(z)的特殊情形。圓環坐標系(η，θ，φ)和直角坐標系之間的關係是：

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程是以法國數學家、天文學家P.S.拉普拉斯(Pierre SimonLaplace)命名的偏微分方程。在電磁學、力學、熱學等學科中，拉普拉斯方程用來描述靜止場(不隨時間變化的場)的特性。令A (x，y，z)是被研究的場量(例如溫度)，x、y、z是三維空間直角坐標系的三個坐標量。拉普拉斯方程的具體形式是：

採用另一種坐標系，拉普拉斯方程的形式隨之改變。為了擺脫坐標系的具體形式，常將拉普拉斯方程寫成：

靜電場中的拉普拉斯方程三維空間的某個區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性電介質，區域Ω內沒有電荷。將Ω中的電位記作V。靜電場的規律由拉普拉斯方程▽V=0描述。

恆定磁場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性磁介質，Ω中沒有電流。區域Ω是單連通的。將Ω中的磁標位記作m，恆定磁場的規律由拉普拉斯方程▽m=0描述。

恆定電場中的拉普拉斯方程區域Ω中充滿了同一種各向同性的線性導電體，Ω中沒有電動勢。導電體中的電位V滿足拉普拉斯方程▽V=0。

拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解，決定於區域Ω邊界上的場量。邊界上給定的場量稱邊界條件。因此，解靜止場的問題，通常是在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程：①在區域形狀簡單、邊界條件簡單的條件下，可以用解析方法解拉普拉斯方程。②用實驗方法解拉普拉斯方程，即測量出區域Ω中各處的場量。③利用計算機用數值方法解拉普拉斯方程。隨著計算機技術的發展，數值方法得到廣泛的套用(見電磁場的數值計算)。

泊松方程若▽A=0的等號右端不是0，而是空間坐標的函式，則此方程稱為泊松方程。它是以法國數學家、物理學家S.泊松(S.Poisson)命名的。例如在靜電場的情況下，若區域Ω中有電荷體密度ρ時，電位V滿足泊松方程：

其中常數ε為充滿Ω的、同一種各向同性線性電介質的電容率。

微分方程

微分方程指含有未知函式及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函式。

微分方程是伴隨著微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的套用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函式的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有套用。

數學領域對微分方程的研究著重在幾個不同的面向，但大多數都是關心微分方程的解。只有少數簡單的微分方程可以求得解析解。不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部分性質。在無法求得解析解時，可以利用數值分析的方式，利用電腦來找到其數值解。動力系統理論強調對於微分方程系統的量化分析，而許多數值方法可以計算微分方程的數值解，且有一定的準確度。

含有未知函式的導數，如的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函式、未知函式的導數與自變數之間的關係的方程，叫做微分方程。未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。微分方程有時也簡稱方程。