複變函數論中有關函式值的模的一個重要而有用的定理，斷言解析函式的模在區域內部不能達到極大值，除非它是常數函式。這一原理可具體表述如下：設ƒ(z)為有界域G內全純並在閉域G並上其邊界上連續的函式，以M(дG,ƒ)表示|ƒ(z)|在G的邊界дG上的最大值，則在G內恆有|ƒ(z)|<M（дG,ƒ）,除非ƒ(z)是一常數，此時其模│ƒ(z)│等於M(дG,ƒ)。
基本介紹
- 中文名：最大模定理
- 外文名：Maximum modulus theorem
- 屬於：複變函數論
- 證明：分析的觀點來
- 地位：一個重要而有用的定理
- 類別：數學
基本概念,複變函數,阿達馬三圓定理,菲拉格芒林德勒夫定理,施瓦茲引理,
基本概念
如果複變函數f(z)在有界區域D內解析，在D及其邊界點上連續，並設在D內及邊界上|f(z)|的最大值是M，那么，在D的邊界F上存在一點z0，使|f(z0)|=M，而對於D內的所有的z，滿足|f(z)|<M。這就是說，解析函式的最大模，必定在邊界上取得。
複變函數論中有關函式值的模的一個重要定理.若f(z)是區域D內的非常數的解析函式，則|f(z)|在D內部取不到最大值.換言之，若f(z)在D內解析，且有a∈D使得|f(a)|≥|f(z)|對D內一切z成立，則f(z)必為常數.又若f(z)是有界區域D上的非常數解析函式且在D及其邊界上連續，則|f(z)|只能在邊界∂D上達到最大值.最大模定理可以由解析函式的平均值定理得到證明，也能由解析函式實現的映射的幾何性質得到解釋。
複變函數
複變函數論這個定理能由解析函式所實現的映射的拓撲性質得到直接的說明,即非常數的解析函式將開集映為開集;同樣也能由分析的觀點來證明，即根據柯西積分公式，函式ƒ(z)在域G 內任一閉圓盤|z-z0|≤r的圓心之值等於它在圓周上積分值的算術平均數。由此可知非常數的全純函式其模不能在 G內取得最大值。這一原理在函式論中有著很廣泛的套用，以這個定理為根據的證明都非常簡明。
阿達馬三圓定理
由最大模原理可以導出，非常數整函式ƒ(z)在圓|z|=r上的最大模M(r,ƒ)是r的增函式。J.（-S.）阿達馬於1896年更進一步證明最大模的對數是lnr的凸下增函式，這一結果被稱為阿達馬三圓定理。它可表述如下:設ƒ(z)在圓環r_1≤|z|≤r_2上全純,以M(r_k,ƒ)表示ƒ(z)在|z|=r_k(k=1,2,3)上的最大模，則對r_1≤r_3≤r_2有
lnM(r_3,ƒ)≤(lnr_2-lnr_3)/(lnr_2-lnr_1) *lnM(r_1,ƒ)+(lnr_3-lnr_1)/(lnr_2-lnr_1) *lnM(r_2,ƒ)
或者改寫為 [M(r_3,ƒ)]^[ln(r_2/r_1)]≤[M(r_1,ƒ)]^[ln(r_2/r_3)]+[M(r_2,ƒ)]^[ln(r_3/r_1)]
上式還說明ƒ(z)在圓環內任一同心圓上的最大模能由它在圓環內、外圓周上的最大模來控制。
波萊爾－卡拉西奧多里定理 關於全純函式的最大模和其實部的最大值之間關係的一個定理。它首先由波萊爾得到，後由C.卡拉西奧多里改進。如所知，一解析函式實質上由其實部所確定。由施瓦茲公式立即可以得到M(r,ƒ)的估計,它由其實部在較大的同心圓上的最大模和│ƒ(0)│所給出。套用最大模原理可以簡捷地得到更精確的結果。
設ƒ(z)在|z|≤R上全純，以A(R)表其實部在|z|=R上之最大值，則有
M[(r_1,ƒ)[≤2[r/(R-r)[ *A(R)+[(R+r)/(R-r)[ *︱f(0)︱.
值得注意的是上式A(R)不是ƒ(z)的實部在│z│=R上的最大模，這點在一些套用中（如整函式的研究中）有著重要的意義。
菲拉格芒林德勒夫定理
最大模原理的重要推廣。它由菲拉格芒、E.L.林德勒夫1908年得到，可敘述如下：設 G是由原點出發的兩條半直線之問的角域，其張角為απ(0<α≤2),又設ƒ(z)在G內及其邊界直線上全純,若在此兩直線上有|ƒ(z)|≤M,且G在內滿足︱f(z)︱<O[e^(︱z︱ρ)]，式中ρ<1/α，則當│z│→∞時，在G內恆有 ︱f(z)︱≤M。 這個定理說明在角域內全純的函式，如果它在角域內滿足某個與角域張角有關的增長性條件,則它在G內的模能由其邊界直線上的最大模來控制。這個定理有許多其他的形式和進一步的研究,並且在整函式的漸近值,解析數論和狄利克雷級數論的研究中有重要的套用。
施瓦茲引理
複變函數幾何理論中具有深遠影響的基本定理，它首先由H.A.施瓦茲所發現。下面敘述的形式和它的經典證明是1912年由卡拉西奧多里所給出的。
設ƒ(z)在單位圓D內全純,且│ƒ(z)│<1,若ƒ(0)=0，則|ƒ(z)|≤|z|和|f'(0)|\le1。第一個關係式當z=0時等號成立。除此之外,此兩個關係式若且唯若ƒ(z)=ez（α是實數）時等號成立。
這個引理的簡單幾何意義是，如w=ƒ(z)映z=0為w=0，且單位圓 D 的像ƒ(D)含於w平面的單位圓內，則任一閉圓D_r：│z│≤r之像ƒ(D_r)含於w平面的閉圓│w│≤r內,且只當ƒ(z)=ez時,映射是將原圓繞原點旋轉。
套用施瓦茲引理立即得到單位圓到自身的一一的共形映射是麥比烏斯變換
τ(z)=e^(iα)*(z-z_0)/(1-ω_0z） ,(ω_0是z_0的共軛)，
式中|z_0|<1，α為一實數。1916年,G.皮克注意到施瓦茲引理可以有一個在上述麥比烏斯變換下不變的形式，它可放棄ƒ(0)=0的條件。
設在D內考慮雙曲度量，其線元素為dσz=︱dz︱/(1-︱z︱^2)，並定義可求長曲線у的雙曲長度為
L(γ)=∫2︱dz︱/(1-︱z︱^2)，D內兩點的雙曲距離ρ(z_1,z_2)是D內連結此兩點的曲線的雙曲長度的下確界，可測集E的雙曲測度為 m(E)=∫∫4dxdy/[(1-︱z︱^2)^2].
顯然上述諸量在麥比烏斯變換下是不變的。皮克的不變形式的施瓦茲引理敘述如下：映單位圓入自身的解析映射使得兩點間的雙曲距離，曲線的雙曲長度和集合的雙曲測度縮小，僅當映射是上述麥比烏斯變換時，這些量保持不變。
施瓦茲引理還有更為精緻和反映曲率性質的一般形式，並在多複變函數論中得到相應的結果。
