廣義最大模定理

廣義最大模定理是最大模定理的推廣。最大模定理是複變函數論中有關函式值的模的一個重要而有用的定理，斷言解析函式的模在區域內部不能達到極大值，除非它是常數函式。

基本介紹

• 中文名：廣義最大模定理
• 外文名：generalized maximum modulus theorem
• 適用範圍：數理科學

定義

廣義最大模定理是最大模定理的推廣。

設f(z)在有界區域D內解析且有界，若在D的邊界上除去有限個點ξ₁,ξ₂,...,ξ_n外，有

則在D內恆有|f(z)|≤M。

最大模定理

最大模定理是複變函數論中有關函式值的模的一個重要而有用的定理，斷言解析函式的模在區域內部不能達到極大值，除非它是常數函式。

這一原理可具體表述如下：設ƒ(z)為有界域G內全純並在閉域G並上其邊界上連續的函式，以M(дG,ƒ)表示|ƒ(z)|在G的邊界дG上的最大值，則在G內恆有|ƒ(z)|<M（дG,ƒ）,除非ƒ(z)是一常數，此時其模│ƒ(z)│等於M(дG,ƒ)。

解析函式

解析函式是區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式Φ(x，y)與流函式Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函式，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函式，後人又把它們稱為全純函式、解析函式。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。