弗羅貝尼烏斯自同構

弗羅貝尼烏斯自同構

對特徵為p的域F,映射π:F→F,x→x稱為弗羅貝尼烏斯映射(Frobenius mapping),弗羅貝尼烏斯映射是在伽羅瓦理論中起著重要作用的映射,實際上,π是F到它的子域F={x|x∈F}的一個域同態,對於特徵p>0的域,它是一個單一同態,若這個同態又是滿同態,也就是F=F,則F是完備域,若π是單一同態,且是滿同態,則π是F的一個自同構,稱為弗羅貝尼烏斯自同構(Frobenius automorphism)。對於有限域F而言,F在它的素子域Fp上的擴張的自同構群Aut(F|Fp)是由弗羅貝尼烏斯自同構所生成。

基本介紹

  • 中文名:弗羅貝尼烏斯自同構
  • 外文名:Frobenius automorphism
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:域論與伽羅瓦理論(域的擴張)
  • 相關概念:有限域,分圓域等
  • 類型:數學學科術語
基本介紹,相關概念,有限域,分圓函式域,

基本介紹

弗羅貝尼烏斯自同構是(數)域的一種特殊自同構,q元有限域
的擴域中,由
確定的自同構稱為弗羅貝尼烏斯自同構。其他的由升q次冪確定的自同構(如
上曲線)也這樣稱呼。設
為數域伽羅瓦擴張,p為k的素理想,β為其在K的素理想因子,K模β的剩餘類域
次擴張,
(即p的絕對範數)個元素的有限域,伽羅瓦群
是循環群,生成元
稱為
弗羅貝尼烏斯自同構
的保持β不變的自同構群
有自然同態,在此同態下的任一原像稱為β的弗羅貝尼烏斯自同構σ,由
刻畫。

相關概念

有限域

有限域又叫做伽羅瓦域,是由伽羅瓦首先提出而得名的,有限域的特徵顯然只能是素數,它是一類很重要的域,它有很好的性質而且還有很重要的套用。
設K為一個特徵p的有限域,於是K包含
作為子域,K自然地可以看成
上的有限維線性空間,設K對
的維數為n,
為它的一基,於是K的每個元素
可以唯一地表成
的線性組合
可以獨立地取
,因而K恰由
個元素組成。因而這對K的基數作出了規定,K的基數只能是它的特徵的一個方冪,冪指數等於K對
的維數,也是K對
的次數。
其次, K的全部非零元素K*組成一個
階乘法群,根據拉格朗日定理, K*的每個元素都是方程
的根,因而K的每個元素都是
的根,但是
在K內最多有
個根,所以K的元素恰好是
的全部根,由於
可知K是
上的分裂域,這就證明下列定理的唯一性部分。
定理1 對每個素數p和任一正整數n,存在一個唯一的
個元素的有限域,它就是
上的分裂域,除此之外無其它
個元素的有限域。
個元素的有限域習慣記成
最後指出有限域
有一個很重要的自同構即弗羅貝尼烏斯(Frobenius)自同構,利用特徵p>0的域的一條性質
,作一個
到自身的映射
滿足
因而
是一個自同態。其次,
是單的。這是因為
,所以
,即
單。由於
有限,單射必然是滿的。所以
的一個自同構。它叫做
弗羅貝尼烏斯自同構
顯然保持
的元素不動,因而
是一個
-自同構。
作為弗羅貝尼烏斯自同構的一個推論,
的每個元素
可以開p次方。因為
是滿射,
下有一個原象
,即
,所以b是
的一個p次方根。由於
的單一性,
的p次方根是唯一的。

分圓函式域

分圓函式域(cyclotomic function field)是一類重要的代數函式域,是分圓數域的某種推廣。設
為有限域
上單變元t的有理函式域,其代數閉包
按如下作用形成
上的模:對
,定義
式中
弗羅貝尼烏斯自同構
,特別地,
,於是
次u的可分多項式,式中d為M的次數,
次數為
,若
的根集,則
稱為M分圓函式域,其在k上的伽羅瓦群同構於
的單位群,當
為d次首一不可約多項式冪時,
僅在(P)和∞分歧,類似於克羅內克-韋伯定理,k的每個在∞為順分歧的有限阿貝爾擴張均含於某個分圓函式域
的常數域擴張中(順分歧是指分歧指數與q互素)。

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