代數函式域

代數函式域

二次代數函式域,明顯決定了幾類實二次函式域的基本單位,決定了多類二次函式域的理想類數的下界,給出了類數為 1 的條件,給出了理想類群的結構的一系列定理。發展套用了函式連分式理論。

基本介紹

  • 中文名:代數函式域
  • 外文名:Algebraic function field
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:有理函式
概念,性質,域的擴張,

概念

一個域上的 n(n≥1) 元有理函式域的有限擴張。設 K 是一個在任意域 F 上經添加有限個元素 x1,…,xn,xn+1,…,xs所生成的域,其中 x1,…,xn(n≥1) 在 F 上是代數獨立的;xn+1,…,xs關於 F(x1,…,xn) 是代數元,則稱 K 是以 F 為係數域的 n 元代數函式域。
當 n=1 時,簡稱 K 為 F 上的代數函式域,記作 K/F 。 K 中所有關於 F 的代數元成一個子域 F┡ ,稱之為 K/F 的常量域。為了方便起見,設 F 本身就是 K/F 的常量域。

性質

除子在代數函式域 K/F 中, K 的一個不平凡賦值,若在 F 上是平凡的,則稱為 K/F 的一個賦值,由 K/F 的離散賦值所成的等價類,稱之為 K/F 的素除子。這種素除子有無限多個。作形式冪積
的積分用有限的形式表出,於是引起對代數函式域的研究,這裡 φ(x,y) 是含 x、y 的有理式; y 與 x 滿足整關係式 ƒ(x,y)=0 。
代數函式的理論,歷來就有幾種不同的描述方法,其中之一屬於“算術-代數”這一方向,即所謂代數函式域。它始於19世紀80年代R.戴德金和H.韋伯的工作。自20世紀以來,隨著抽象代數學的發展,戴德金和韋伯的理論,先後經E.諾特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韋伊以及其他學者的逐步簡化和推廣,對域F的限制得以逐步解除,使這一理論的許多內容包括黎曼-羅赫定理,可以在F為任意域的情況下來建立。

域的擴張

(extension of a field)
域論的基本概念之一,若域 K 包含域 F 作為它的子域,則稱 K 是 F 的一個擴張(或擴域),F 稱為基域,常記為 K/F,此時,K 可以看成 F 上的向量空間,研究擴域 K(相對於基域 F)的代數性質,是域論研究的一個基本內容。
若域 E 是 F 的擴域,K 是 E 的擴域,則稱 E 是域擴張 K/F 是域擴張,S 是 K 的子集,且 F(S) 是 K 的含 F 與 S 的最小子域,稱F(S) 為 F 添加 S 的擴域,當 S={a1,a2,...,an} 是有限集合時,F(a1,a2,...,an) 稱為添加 a1,a2,...,an 於 F 的有限生成擴域(或者 F 的有限生成擴張),它由一切形如
的元組成,其中
是 F 上的 n 元多項式且
由於這個原因,當F(a1,a2,...,an) 關於 F 的超越次數≥ 1 時,F(a1,a2,...,an) 也稱為 F 上的代數函式域,當 S={a} 時,稱 F(a) 為 F 的單擴張域,也稱本原擴域,F 的有限代數擴域 K 是單擴張域的充分必要條件是,擴域 K與基域間存在有限箇中間域,這是施泰尼茨(Steinitz,E.)證明的。

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