《數學概覽:代數基本概念》是I.R.沙法列維奇的經典名著之一，目的是對代數學、它的基本概念和主要分支提供一個一般性的全面概述，論述代數學及其在現代數學和其他科學中的地位。高度原刨且內容充實，涵蓋了代數中所有重要的基本概念，不只是域、群、環、模，而且包括群表示、Lie群與Lie代數、上同調、範疇論等。它不是按照代數教科書的傳統模式寫的，而是反映了作者的強烈觀點：“用基本例子的一批樣本，它會表達得更好。這給數學家提供了動機和實質性的定義，同時給出這個概念的真實意義。”書中共有精心挑選的164個例子和45幅圖，給讀者提供了物理背景和直覺，通過它們讀者能夠對抽象的概念產生更深的印象。相對而言，書中只有6個引理和104個定理，而且這些定理往往不加證明，只給出證明思路，這將大大刺激讀者的思考，激發更大的興趣。
基本介紹
- 書名：數學概覽:代數基本概念
- 類型：科學與自然
- 出版日期：2014年3月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：7040393603
- 作者：I.R.沙法列維奇 嚴加安
- 出版社：高等教育出版社
- 頁數：267頁
- 開本：16
- 品牌：高等教育出版社
基本介紹,內容簡介,作者簡介,圖書目錄,
基本介紹
內容簡介
《數學概覽:代數基本概念》文前附季理真撰寫的有關作者及《代數基本概念》內容的精彩介紹。讀者對象是大學數學系的學生、數學專業任何方向的研究生、教師和研究工作者，包括已經威名的數學家。理論物理學家和其他自然科學領域的專家也會對《代數基本概念》有興趣。
作者簡介
作者：（俄羅斯）I.R.沙法列維奇 譯者：李福安
圖書目錄
《數學概覽》序言
中文版前言
前言
第1節 什麼是代數？
坐標化的思想．例子：量子力學辭彙表，關聯公理和平行性的有限
模型的坐標化．
第2節 域
域的公理，同構．獨立變數的有理函式域；平面代數曲線的函式域．
Laurent級數域和形式Laurent級數域．
第3節 交換環
環的公理：零因子和整環．分式域．多項式環．平面代數曲線上的
多項式函式環．冪級數環與形式冪級數環．Boole環．環的直和．
連續函式環．因子分解；唯一因子分解整環(UFD)，UFD的例子．
第4節 同態和理想
同態，理想，商環．同態定理．函式環中的限制同態．主理想整環；
與UFD的關係．理想的積．域的特徵．給定多項式有根的擴張．
代數閉域．有限域．用極大理想和素理想上的函式表示一般環的
元素．作為函式的整數．超積與非標準分析．交換的微分運算元．
第5節 模
直和與自由模．張量積．模的張量冪、對稱冪和外冪，對偶模．等價
的理想和模的同構．微分形式模和向量場．向量空間族與模族．
第6節 從代數角度看維數
模的秩．有限型模．主理想整環上的有限型模．Noether模和
Noether環．Noetber環和有限型環．分次環的情形．擴張的超越
次數．有限擴張．
第7節 無窮小概念的代數觀點
模2階無窮小的函式和流形的切空間．奇點．向量場與1階微分
運算元．高階無窮小．射流和微分運算元．環的完備化，p進數．賦范域．
有理數域和有理函式域的賦值．數論中的p進數域．
第8節 非交換環
基本定義．環上的代數．模的自同態環．群代數．四元數與可除代
數．扭曲子纖維化．可除代數上n維向量空間的自同態．張量代數
和非交換多項式環．外代數；超代數；Clifford代數．單環和單代數．
可除代數上向量空間白同態環的左理想和右理想．
第9節 非交換環上的模
模和表示．代數用矩陣形式的表示．單模，合成列，Jordan-Holder．
定理．環或模的長度．模的自同態環．Schur引理．
第10節 半單模和半單環
半單性．群代數是半單的．半單環上的模．有限長度的半單環；
Wedderburn定理．有限長度的單環與射影幾何基本定理．因式和
連續幾何．代數閉域上有限秩的半單代數．對有限群表示的套用．
第11節 有限秩的可除代數
R或有限域上的有限秩可除代數．Tsen定理和擬代數閉域．p進數
域和有理域上有限秩的中心可除代數．
第12節 群的概念
變換群，對稱，自同構．動力系統的對稱和守恆律．物理定律的對
稱．群，正則作用．子群，正規子群，商群．元素的階．理想類群．
模的擴張的群．Brauer·群．兩個群的直積．
第13節 群的例子：有限群
對稱群和交錯群．正多邊形和正多面體的對稱群．格的對稱群．
晶體的類．由反射生成的有限群．
第14節 群的例子：無限離散群
離散變換群．晶體群．Lobachevsky平面的離散運動群．模群．
自由群．由生成元和關係確定的群．邏輯問題．基本群．紐結群．
辮群．
第15節 群的例子：Lie群和代數群
Lie群．環面．在Liouville定理中的作用．
A．緊緻Lie群
典型的緊緻群以及它們之間的一些關係．
B．復解析Lie群
典型的復Lie群．其他一些Lie群．Lorentz群．
C．代數群
代數群，addle群．Tamagawa數．
第16節 群論的一般結果
直積．Wedderburn-Remak-Shmidt定理．合成列，Jordan-Holder
定理．單群，可解群．單緊緻Lie群．單復Lie群．有限單群，分類．
第17節 群表示
A．有限群的表示
表示，正交關係．
B．緊緻Lie群的表示
緊緻群的表示．在群上積分．Helmholtz-Lie理論．緊緻Abel群
的特徵標和Fourier級數．4維Riemann幾何中的Weyl和
Ricci張量．SU(2)和SO(3)的表示．Zeeman效應．
C．典型復Lie群的表示
非緊緻Lie群的表示．有限維典型復Lie群表示的完全不可約性．
第18節 群的一些套用
A．Galois理論
Calois理論．根式解方程．
B．線性微分方程的Galois理論(Picard-Vessiot理論)
C．非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群．
D．不變式理論
不變式理論的第一基本定理．
E．群表示和基本粒子的分類
第19節 Lie代數和非結合代數
A．Lie代數
Poisson括弧作為Lie代數的例子．Lie環和Lie代數．
B．Lie理論
Lie群的Lie代數．
C．Lie代數的套用
Lie群與剛體運動．
D．其他非結合代數
Cayley數．8維空間的6維子流形上的殆復結構．非結合的
實可除代數．
第20節 範疇
圖和範疇．泛映射問題．函子．拓撲中發生的函子：圈空間，雙角
錐．範疇中的群對象．同倫群．
第21節 同調代數
A．同調代數概念的拓撲起源
復形及其同調．多面體的同調和上同調．不動點定理．微分形式
和de Rham上同調；de Rham定理．長正合上同調序列．
B．模和群的上同調
模的上同調．群上同調．離散群上同調的拓撲意義．
C．層上同調
層；層上同調．有限性定理．Riemann—Roch定理．
第22節 K-理論
A．拓撲K-理論
向量叢和函子Vec(X)．周期性和函子Kn(X)．K1(X)和無限
維線性群．橢圓微分運算元的符號．指標定理．
B．代數K-理論
投射模類的群．環的Ko，K1和Kn域的K2及其與Brauer
群的關係．K-理論和算術．
關於文獻的注釋
參考文獻
人名索引
主題索引
中文版前言
前言
第1節 什麼是代數？
坐標化的思想．例子：量子力學辭彙表，關聯公理和平行性的有限
模型的坐標化．
第2節 域
域的公理，同構．獨立變數的有理函式域；平面代數曲線的函式域．
Laurent級數域和形式Laurent級數域．
第3節 交換環
環的公理：零因子和整環．分式域．多項式環．平面代數曲線上的
多項式函式環．冪級數環與形式冪級數環．Boole環．環的直和．
連續函式環．因子分解；唯一因子分解整環(UFD)，UFD的例子．
第4節 同態和理想
同態，理想，商環．同態定理．函式環中的限制同態．主理想整環；
與UFD的關係．理想的積．域的特徵．給定多項式有根的擴張．
代數閉域．有限域．用極大理想和素理想上的函式表示一般環的
元素．作為函式的整數．超積與非標準分析．交換的微分運算元．
第5節 模
直和與自由模．張量積．模的張量冪、對稱冪和外冪，對偶模．等價
的理想和模的同構．微分形式模和向量場．向量空間族與模族．
第6節 從代數角度看維數
模的秩．有限型模．主理想整環上的有限型模．Noether模和
Noether環．Noetber環和有限型環．分次環的情形．擴張的超越
次數．有限擴張．
第7節 無窮小概念的代數觀點
模2階無窮小的函式和流形的切空間．奇點．向量場與1階微分
運算元．高階無窮小．射流和微分運算元．環的完備化，p進數．賦范域．
有理數域和有理函式域的賦值．數論中的p進數域．
第8節 非交換環
基本定義．環上的代數．模的自同態環．群代數．四元數與可除代
數．扭曲子纖維化．可除代數上n維向量空間的自同態．張量代數
和非交換多項式環．外代數；超代數；Clifford代數．單環和單代數．
可除代數上向量空間白同態環的左理想和右理想．
第9節 非交換環上的模
模和表示．代數用矩陣形式的表示．單模，合成列，Jordan-Holder．
定理．環或模的長度．模的自同態環．Schur引理．
第10節 半單模和半單環
半單性．群代數是半單的．半單環上的模．有限長度的半單環；
Wedderburn定理．有限長度的單環與射影幾何基本定理．因式和
連續幾何．代數閉域上有限秩的半單代數．對有限群表示的套用．
第11節 有限秩的可除代數
R或有限域上的有限秩可除代數．Tsen定理和擬代數閉域．p進數
域和有理域上有限秩的中心可除代數．
第12節 群的概念
變換群，對稱，自同構．動力系統的對稱和守恆律．物理定律的對
稱．群，正則作用．子群，正規子群，商群．元素的階．理想類群．
模的擴張的群．Brauer·群．兩個群的直積．
第13節 群的例子：有限群
對稱群和交錯群．正多邊形和正多面體的對稱群．格的對稱群．
晶體的類．由反射生成的有限群．
第14節 群的例子：無限離散群
離散變換群．晶體群．Lobachevsky平面的離散運動群．模群．
自由群．由生成元和關係確定的群．邏輯問題．基本群．紐結群．
辮群．
第15節 群的例子：Lie群和代數群
Lie群．環面．在Liouville定理中的作用．
A．緊緻Lie群
典型的緊緻群以及它們之間的一些關係．
B．復解析Lie群
典型的復Lie群．其他一些Lie群．Lorentz群．
C．代數群
代數群，addle群．Tamagawa數．
第16節 群論的一般結果
直積．Wedderburn-Remak-Shmidt定理．合成列，Jordan-Holder
定理．單群，可解群．單緊緻Lie群．單復Lie群．有限單群，分類．
第17節 群表示
A．有限群的表示
表示，正交關係．
B．緊緻Lie群的表示
緊緻群的表示．在群上積分．Helmholtz-Lie理論．緊緻Abel群
的特徵標和Fourier級數．4維Riemann幾何中的Weyl和
Ricci張量．SU(2)和SO(3)的表示．Zeeman效應．
C．典型復Lie群的表示
非緊緻Lie群的表示．有限維典型復Lie群表示的完全不可約性．
第18節 群的一些套用
A．Galois理論
Calois理論．根式解方程．
B．線性微分方程的Galois理論(Picard-Vessiot理論)
C．非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群．
D．不變式理論
不變式理論的第一基本定理．
E．群表示和基本粒子的分類
第19節 Lie代數和非結合代數
A．Lie代數
Poisson括弧作為Lie代數的例子．Lie環和Lie代數．
B．Lie理論
Lie群的Lie代數．
C．Lie代數的套用
Lie群與剛體運動．
D．其他非結合代數
Cayley數．8維空間的6維子流形上的殆復結構．非結合的
實可除代數．
第20節 範疇
圖和範疇．泛映射問題．函子．拓撲中發生的函子：圈空間，雙角
錐．範疇中的群對象．同倫群．
第21節 同調代數
A．同調代數概念的拓撲起源
復形及其同調．多面體的同調和上同調．不動點定理．微分形式
和de Rham上同調；de Rham定理．長正合上同調序列．
B．模和群的上同調
模的上同調．群上同調．離散群上同調的拓撲意義．
C．層上同調
層；層上同調．有限性定理．Riemann—Roch定理．
第22節 K-理論
A．拓撲K-理論
向量叢和函子Vec(X)．周期性和函子Kn(X)．K1(X)和無限
維線性群．橢圓微分運算元的符號．指標定理．
B．代數K-理論
投射模類的群．環的Ko，K1和Kn域的K2及其與Brauer
群的關係．K-理論和算術．
關於文獻的注釋
參考文獻
人名索引
主題索引
